Домашка ВАР5

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

“Московский технический университет связи и информатики”

( МТУСИ)

Кафедра "Техническая электродинамика и антенны"

Домашнее задание

по курсу Электродинамика и распространение радиоволн

"Электромагнитное поле в световоде"

Вариант 5.

Выполнил:

Студент группы

Проверила:

Москва 2024г.

Задание

Задача № 2-2

На рисунке 1 показано продольное сечение плоского световода ( ), помещенного в неограниченную среду с диэлектрической проницаемостью . Известны выражения для составляющих векторов поля:

В среде 1:

,

.

В среде 2:

,

,

где А и В – постоянные, имеющие размерность амплитуды поля, и - поперечные волновые числа в средах 1 и 2, - коэффициент фазы волны. Исходные данные:

№ варианта			λ = 2h, мкм	f, ТГц	мВт	мВт
05	2.25	1	1.6	187.5	–	1.0

Даны комплексные амплитуды x-составляющих векторов

Определим комплексные амплитуды всех проекций в средах 1 и 2.

Уравнение связи:

Для первой среды найдем :

Так как

Найдем производные. Производная комплексной амплитуды z-составляющей по координате x и x-составляющей по координате z в первой среде:

Найдем производные. Производная комплексной амплитуды x-составляющей по координате z и z-составляющей по координате x во второй среде:

Найдём и :

Найдём , , и :

В итоге имеем для комплексных амплитуд составляющих векторов . Для 1 среды:

2. 

3. 

Для 2 среды:

2. 

3. 

Рассмотрим применение граничных условий на границе раздела (при ):

Из данных равенств, зная выражения для комплексных амплитуд составляющих векторов для 1 и 2 сред, можно записать:

Упрощаем полученное равенство:

Также для вектора можно записать и упростить равенство:

Система уравнений теперь имеет вид:

Делим первую составляющую системы на вторую и получаем:

Теперь запишем уравнение Гельмгольца для получения равенства между суммой квадратов поперечных волновых чисел (для 2 среды) и разностью квадратов коэффициентов

Уравнения Гельмгольца для 1 и 2 сред:

где - оператор Гамильтона.

Найдем :

Заменим выражение на и запишем итоговое выражение для уравнения Гельмгольца для 1 среды:

Данное выражение можно привести к упрощенному виду:

Теперь, по аналогии, запишем выражение для уравнения Гельмгольца для 2 среды:

Итого:

Приравниваем данные выражения и получаем:

Переписываем в более удобной форме:

Запишем систему уравнений:

, .

Где - абсолютная диэлектрическая проницаемость 1 среды, Ф/м;

- абсолютная диэлектрическая проницаемость 2 среды, Ф/м;

– электрическая постоянная, Ф/м;

– магнитная постоянная, Гн/м;

– циклическая частота электромагнитных колебаний, рад/с.

В первом уравнении системы выразим поперечное число для второй среды:

Домножим каждый член системы уравнений на h:

Произведем замену переменных: и

Второе уравнение системы представляет собой уравнение окружности с радиусом R= . Запишем итоговую систему уравнений:

Решим данную систему графическим способом.

Найдем R²:

Рисунок 2 – Графическое решение системы уравнений

Решение системы уравнений есть среднее арифметическое между минимум и максимумом:

Параметры были определены:

Найдем , выражая его из следующих формул: и :

Рассчитаем по двум вышеуказанным формулам:

В обоих случаях результаты одинаковы, следственно, расчет был произведен верно.

Значение фазовой скорости найдем из следующего выражения:

Используя заданную величину единичной мощности волны в среде 2, т.е. , определим амплитуды A и B, входящие в выражения для всех проекций векторов и .

Запишем выражение для вектора Пойнтинга во второй среде. Комплексный вектор Пойнтинга определяется как половина векторного произведения комплексной амплитуды вектора напряжённости электрического поля на комплексно-сопряжённое комплексной амплитуды вектора напряжённости магнитного поля. Составляющие полей нам известны, подставляем их в формулу, упрощаем выражение.

Для решения данной задачи понадобится только z-ая компонента вектора Пойнтига, перепишем:

Комплексно-сопряжённое комплексной амплитуды вектора напряжённости магнитного поля:

Запишем выражение для

Выразим отсюда В:

=

Рассчитаем В:

Расчет A произведем из уравнения граничных условий пункта 2:

Произведем расчет и построение зависимости y-составляющей вектора от координаты х в 1 и во 2 средах:

Рисунок 3 – Зависимость x-составляющей вектора от координаты x в 1 и во 2 средах

Произведем расчет и построение зависимости z-составляющей вектора от координаты х в 1 и во 2 средах:

Рисунок 4 – Зависимость z-составляющей вектора от координаты x в 1 и во 2 средах

За

Произведем расчет и построение зависимости y-составляющей вектора от координаты х в 1 и во 2 средах:

Рисунок 5 – Зависимость y-составляющей вектора от координаты х в 1 и во 2 средах