Возьмем начальную сетку с небольшим числом узлов N. То­ гда количество неизвестных Un будет малым. Даже если нулевое приближение задано не слишком удачно, и число итераций ока­ жется большим, общая трудоемкость будет невелика.

Решение, найденное на грубой сетке, может быть еще не очень

близким к точному. Однако оно уже будет хорошим нулевым

приближением для итерационной процедуры на более подробной сетке. Надо только интерполировать найденные значения с гру­ бой сетки на все узлы сгущенной сетки. Как правило, при этом

классический ньютоновский процесс сходится за две - четыре

итерации (а прибегать к обобщенному методу Ньютона нет необ­

ходимости). При каждом очередном сгущении нулевое прибли­

жение нужно брать с предыдущей сетки. Тогда суммарный объ­ ем вычислений при многократном сгущении будет эквивалентен 4 - 8 итерациям на самой подробной сетке. Это еще одно пре­

имущество сеточного метода.

8.5.3. Метод Ритца

Выберем некоторый набор базисных функций срт(х). Функ­

ции должны быть линейно независимыми, а их система - пол­ ной в некотором классе функций, которому принадлежит иско­ мое решение. Аппроксимируем решение обобщенным многочле-

m=O

Подставим выражение (8.56) в исходный функционал и выпол­

ним все дифференцирования и интегрирования по аргументу х. Тогда функционал окажется некоторой функцией F большого

числа неизвестных параметров Ст:

Ф[им(х)]= Ф[J;,"m~m(x)] = F(eo,c1,"2, ... ,см).

Определим параметры Ст из условия минимизации:

Таким образом, задача свелась к поиску минимума функции многих переменных, способы решения которой описаны в под­ разд. 8.2.

287

Квадраmи-чн'Ые функциона.п:ы. Если функционал Ф[и(х)]

квадратичен, то функция F будет квадратично зависеть от ко­ эффициентов Ст· В этом случае задача на минимум после при­

равнивания нулю производных по Ст сводится к системе ли­

нейных уравнений для Ст,. Даже если матрица системы будет плотно заполненной, ее нетрудно решить методом Гаусса. По­ этому для квадратичных функционалов можно выбирать много

параметров (М ,....., 100 + 1 ООО и более) и добиваться достаточ­

но высокой точности. Именно такой метод был предложен Рит­

цем.

Вкачестве примера рассмотрим задачу прогиба струны (8.47)

сзакрепленными концами: и(О) =О, и(а) =О. Выберем полную

систему функций, удовлетворяющую данным граничным усло­

виям:

Эти функции ортогональны. Подставим их в функционал (8.47)

и выполним все дифференцирования и интегрирования. С уче­

том ортогональности получим

а

fm = Jf(x) sin(ттmx/a)dx.

о

Дифференцирование по Ст дает здесь систему линейных урав­ нений с диагональной матрицей. Поэтому сразу можно написать

ее решение:

(8.59)

Такое упрощение возникает благодаря ортогональности базис­

ной системы. Если вместо базиса (8.58) взять базис из неорто­ гональных многочленов срт(х) = xm(a - х), также удовлетворя­ ющих нулевым граничным условиям, то вместо (8.59) получит­ ся система с плотно заполненной матрицей (вдобавок она будет плохо обусловлена). Отсюда видно, что целесообразно использо­

вать ортогональные базисы.

С.ло~н'Ые функциона.л'Ы. Если функционал неквадратич­

ный, то подстановка в него обобщенного многочлена (8.56) при­

ведет к достаточно сложной неквадратичной функции F. Мини­ мизирующая система уравнений для Ст будет нелинейной и так-

288

ции.

Отсюда видно, что решение задачи им(х), являющееся решени­ ем (8.57), аппроксимирует Umin(x) с достаточно высокой точно­

289

8.5.4. Конечные элементы

Метод конечных элементов является частным случаем мето­

да Ритца. В качестве базиса берутся функции C/)m ( х) на конечных носителях. Для их построения выбирают сетку {Хп, О ~ п ~ N}.

В качестве носителя каждой базисной функции берут минималь­ но возможное количество соседних интервалов сетки. По суще­ ству метод является гибридом метода Ритца и сеточного мето­ да. Поэтому сейчас метод конечных элементов часто называ­ ют проекцион:но-сеmо·ч:ним методом. Как и метод Ритца,

он сравнительно просто реализуется лишь для квадратичных

функционалов.

Рассмотрим простейший пример - задачу прогиба струны

(8.47). От базисных функций здесь требуется непрерывность и

гладкость за исключением отдельных точек (так как надо вы­ числять их)· Простейшими подходящими конечными элемента­

ми являются В-сплайны первой степени, описанные в 5.5. На ин­

тервале сетки [хп-1,хп] отличны от нуля только два линейных

В-сплайна: Вп-1(х) = (х - Хп-1)/hп, Вп-2(х) = (хп - х)/hп,

х Е [хп-1, хп]· Поэтому на данном интервале искомое решение

имеет следующий вид:

Подставляя (8.60) в интеграл (8.47) и суммируя по всем интер­

валам сетки, получим

Напомним, что индексы линейных В-сплайнов меняются от -1

ДО N-1.

Теперь надо минимизировать квадратичную функцию (8.61)

от коэффициентов Cm· Приравняем нулю производную (8.61) по

коэффициенту Ст и учтем, что каждый коэффициент входит в

290