Выводы. Выполняя отражения с q = 1, 2, ... , N - 2, по­ добно преобразуем произвольную матрицу А к верхней почти

треугольной форме (форме Хессенберга). Суммарное преобра­

зование требует (10/З)N3 арифметических операций (немногим

больше, чем для обращения матрицы).

Если исходная матрица была эрмитовой, то ее эрмитовость

сохраняется, и результирующая матрица оказывается трехдиа­

гональной. В этом случае верхнюю половину матрицы нужно не

вычислять, а заполнять по условию симметрии. Это уменьшает

число арифметических операций до (4/З)N3.

Если предполагается находить только собственные значения,

то найденные на каждом шаге цикла векторы w и константы с

хранить не надо. Если же нужно находить собственные векторы, то потребуется обратное преобразование. В этом случае w и с

надо сохранять.

Практика показала, что метод Хаусхолдера очень устойчив по отношению к ошибкам округления. При 64-разрядных вычис­ лениях он позволяет проводить расчеты с N "-'1 ООО и более.

7.1.З. Другие методы

Метод Гивенса ( 1954). В этом методе используется це­

почка унитарных преобразований - двумерных вращений коор­ динат. Каждое вращение происходит в плоскости, проходящей через какие-то две оси координат. При таком вращении преоб­ разуются только элементы двух столбцов и двух одноименных строк матрицы А. Поэтому объем вычислений при одном пово­ роте мал. Углы поворотов выбирают так, чтобы каждый пово­ рот аннулировал определенный элемент матрицы А, лежащий ниже по,лдиагонали. Последовательность поворотов выбирают так, чтобы ранее аннулированный элемент оставался нулевым.

После (N - l)(N - 2)/2 поворотов аннулируются все элементы,

лежащие ниже по,лдиагонали. Поэтому произвольная матрица А приводится к верхней почти треугольной форме.

Преобразования вращения сохраняют эрмитовость. Следова­ тельно, если матрица А была эрмитовой, то цепочка преобразо­ ваний Гивенса приводит матрицу к трехдиагональной форме.

По конечному результату метод Гивенса похож на метод Ха­ усхолдера. Он столь же устойчив, но в полтора раза медленнее

(5N3 арифметических действий для произвольной матрицы и 2N3 - для эрмитовой). В нем также по,лдиагональные элемен­

ты итоговой матрицы оказываются весьма большими.

244

Метод Якоби. Метод, предназначенный только для эрми­ товых матриц А, был предложен в XVIII в. и возрожден с появ­ лением компьютеров. В нем используются такие же двумерные вращения, как и в методе Гивенса, но угол поворота выбирается иначе. Аннулируется достаточно большой по модулю внедиаго­ нальный элемент. Симметричный ему внедиагональный элемент также обращается в нуль в силу сохранения эрмитовости. При

этом ранее аннулированный элемент может снова стать ненуле­

вым. Бесконечная цепочка таких поворотов в пределе приводит

эрмитову матрицу к диагональному виду. При этом сразу нахо­

дятся собственные значения: они равны диагональным элемен­

там итоговой матрицы.

Такая цепочка преобразований не может быть конечной, т. е. метод Якоби - итерационный процесс. Он сходится всегда, но сходится достаточно медленно, так что объем вычислений для получения высокой точности в нем примерно в 20 раз больше, чем в методе Хаусхолдера. Поэтому на практике он применяется редко. Интересен он лишь тем, что исключительно устойчив и сразу дает собственные значения.

Элеменmарн:ьtе преобразования. Возьмем произвольную

(неэрмитову) матрицу А, уже приведенную методом отражений

к верхней почти треугольной форме. Ее можно привести к трех­ диагональной форме цепочкой так называемых элементарных преобразований подобия с матрицами вида

причем м-1 (v) = M(-v). Величины Vn выбирают так, чтобы ан­

нулировать все элементы соответствующей строки матрицы А, лежащие правее верхней кодиагонали. Последовательность мат­ риц М берут так, чтобы аннулировать сначала первую строку, затем вторую и т. д. Трудоемкость элементарных преобразова­ ний меньше, чем для преобразования отражения.

Однако матрицы М неунитарны, так что устойчивость этого метода хуже. В литературе отмечено, что обычно устойчивость метода удовлетворительна, но наблюдаются также случаи поте­ ри точности и даже срывы расчета. При мощности современных компьютеров надежность важнее небольшого выигрыша в тру­

доемкости.

245