5.5.3. Конечные элементы

В литературе много внимания уделяют так называемому ме­

тоду конечных элементов (его называют также проекционно­ сеточным). В нем используют разложение одно-, двух- и трех­

мерных функций по базисным функциям, определенным на ко­ нечных носителях. Такие базисные функции называют конечны­

ми элементами.

Само разложение понимают в разных смыслах. Это может быть наилучшая аппроксимация в норме L2 , удовлетворение не­ которому дифференциальному уравнению, минимизация неко­ торого специального функционала от данного разложения и т. п.

Видно, что В-сплайны являются частным случаем таких ко­ нечных элементов. Они имеют особенно простой вид и широ­ ко используются в данном методе. Особенно часто из-за своего очень простого вида употребляют линейные В-сплайны, несмот­ ря на их невысокую гладкость. Конечные элементы высокой гладкости применяют заметно реже. По существу метод конеч­ ных элементов близок к разностным схемам. По историческим

причинам он развивался сначала самостоятельно, но постепенно

изложения этих методов все больше и больше сближаются.

5.6. АЛПРОКСИМд14~ия КРИВЫХ

5.6.1. Параметриэация кривой

Отличие аппроксимации кривой от аппроксимации функции

состоит в том, 'ITO кривая может оказаться замкнутой, с воз­

вратом, иметь бесконечную производную и т. п. В этом случае невозможно аппроксимировать искомую кривую любой явной

202

Рис. 5.8. Параметрическое представление кривой:

а - линия у(х); б - ее неудачная параметризация tn = п

но использовать параметрическое представление кривой. Вве­ дем параметр t, монотонно возрастающий вдоль кривой. Допи­ шем к таблице его значения в узлах и разобьем ее на одномерные

таблицы (tn, Xn), (tn, Yn), (.in, Zn). Далее строим аппроксимацию каждой таблицы x(t), y(t), z(t). Изменяяt, можно вычислить лю­

бое число промежуточных точек. Поэтому идея звести параметр

и построить одномерные аппроксимации весьма привлекатель­

на, тем более, что этот способ применим к любому числу изме­

рений.

Разумеется, не всякий способ введения параметра приго­ ден. Например, нельзя брать в качестве параметра номер точ­ ки на кривой tn = п. Возьмем отрезок простейшей зависимости

у(х) = х. Пусть на первой части отрезка поставлены близко рас­

положенные равноотстоящие точки, а на второй части - тоже

равноотстоящие, Н'О гораздо более редкие точки (рис. 5.8, а). То­

гда графики x(t} и y(t) будут ломаными (рис. 5.8, б), хотя исход­

ная кривая была гладкой.

Когда крю~ую рисуют по точкам с помощью лекала, лист бу­ маги можно вертерь, как нам удобно. Значит, мы интуитивно требуем, чтобы кривая не менялась при параллельном переносе или повороте осей координат. Математически это означает, что

при описании кривой следует пользоваться чисто геометриче­

скими понятиями: длиной, кривизной и т. п. Поэтому в качестве параметра целесообразно выбрать геометрическую величину.

Идеальный способ - взять за параметр длину дуги кривой. Но для этого нужно знать вид кривой. На практике берут одну

из следующих характеристик кривой, которые нетрудно постро­

ить по точкам: длину хорды или длину дуги окружности (второй способ существенно точнее).

203

5.б.2. Хорда

Для простоты записи ограничимся случаем двух переменных и будем обозначать точки как координатами, так и радиусом­

вектором (хп, Уп) = Гп. Простейшим приближением к длине ду­

ги кривой ln,nj:1 между двумя соседними точками Гп и Гп+l будет длина хорды ln,n+1, соединяющей эти точки:

(5.65)

Точное значение длины дуги между двумя точками равно

Xn

Сравним, насколько отличаются длины дуги и хорды. Погрешность. Для нахождения погрешности введем ло­

кальную систему координат. За начало координат возьмем п-ю точку кривой, а за ось абсцисс - касательную к кривой в этой

точке. Будем обозначать через у(х), Ух(х), Ухх(х) и так далее те­

кущие значения функции и ее производные вдоль кривой, а че­ рез у, Ух, Ухх и так далее - их значения в п-й точке. В силу вы­ бора координат у = О и Ух = О. Поэтому разложения функции и первой производной в ряд Тейлора принимают следующий вид:

Подставив разложение (5.67) в формулу (5.65), получим дли­

ну хорды для произвольного аргумента:

Сравнивая длины (5.68) и (5.69) между собой, найдем их от-

ношение:

(5. 70)

204

Это означает, что относительная погрешность длины при замене

дуги хордой есть О(х2).

Видно, что приближение хордой (5.65) имеет второй поря­

док точности. Такая точность считается невысокой. Этот спо­ соб хорошо работает на участках малой кривизны, когда длина

хорды стремится к длине дуги. Если кривизна большая (напри­ мер, профиль крыла самолета в районе передней кромки), то

этот способ становится не слишком аккуратным. На участках большой кривизны необходима очень подробная сетка. В про­ тивном случае аппроксимирующая кривая может иметь «выбро­ сы» - маломасштабные формы, качественно не присущие исход­

ной кривой.

Заме-чание. Второй порядок точности относился к вычислению

самой длины. Однако параметризация кривой выполняется в первую

очередь ради дальнейшей аппроксимации в параметрической форме. Заметим, что такая аппроксимация не изменится, если параметр умно­ жить на константу. Это открывает возможность увеличения порядка

точности последующей аппроксимации на 1.

Пусть сетки {tn} и, соответственно, {xn} квазиравномерны. Роль длины интервала в (5.70) играет величинах. Для квазиравномерных

сеток отношения длин соседних интервалов равны 1 + О(х). Величи­

ны Ухх в соседних интервалах также равны с точностью до О(х). По­

этому отношения l/l в соседних интервалах будут совпадать с точно­ стью О(х3 ). Это означает, что на квазиравномерной сетке параметри­

зацию длинами хорд можно использовать для построения аппроксима­

ций кривых, имеющих третий порядок точности.

5.б.З. Окружность

Более высокую точность по сравнению с хордой дает прове­

дение окружности через две данные точки и третью, соседнюю

справа или слева. Через эти три точки (считая, что они не лежат

на одной прямой) можно провести единственную плоскость. Бу­

дем рассматривать задачу в этой плоскости, т. е. по-прежнему в

двумерной постановке. Приведем вывод формул.

Возьмем три соседние точки с радиусами-векторами Гп-l,

рез эти точки окружность, центр которой обозначим через О,

а радиус через R (рис. 5.9). Центральный угол, опирающийся на

хорду r +, обозначим через 2сх+, а на хорду r _ - через 2сх_. Угол

между векторами r и r _ опирается на хорду r +, а его вершина

лежит на окружности. Поэтому он вдвое меньше соответствую-

205

Рис. 5.9. Аппроксимация дугой

окружности

п

щего центрального угла, опирающегося на ту же хорду, т. е. ра­

вен <Х+·

Очевидно, длины хорд - это длины соответствующих векто-

ров:[_= ln-1,n = lr-1 = lrп - Гп-11 и l+ = ln,n+l = lr+I = lrп+l -

- rпl· Сами эти векторы и их длины легко вычисляются по ко­

ординатам точек. Угол <Х+ определяем из векторного произве­

дения векторов r и r _: [r _, r] = 1r-11r1 sin <Х+. Подставляя сюда r = r _ + r + и учитывая, что векторное произведение [r_, r _] = О,

получим для искомого угла следующее выражение:

Эта формула удобна тем, что при вычислениях по ней не про­ исходит потери точности даже в случае подробной сетки, когда

сами интервалы малы, а векторы хорд почти параллельны.

Из рис. 5.9видно, что lr+I = 2Rsincx+. Отсюда радиус окруж­

ности равен

(5.72)

Обозначим длины дуг окружностей через[_ = Zn-1,n и Z+ = = Zn,n+l· Очевидно,

(5.73)

По формулам (5.71)-(5.73) последовательно определяем <Х+,

R и Z+, тем самым находя длину дуги окружности, а попутно -

кривизну 1/R. Заменив в формулах (5.71)-(5.73) и.~щекс «+»

на«-», получим длину второго участка окружности l_.

Погрешность. Сравним длинудуги окружности Z+ с истин­

ной длиной дуги кривой l+. Выберем ту же локальную систему

координат, что и при исследовании погрешности длины хорды в

подразд. 5.6.2. Приращения аргументов для (п + 1)-й и (п - 1)-й точек обозначим через х+ их_ соответственно (очевидно, знаки

х+ их_ будут противоположными). Тогда векторные величины,

206

входящие в (5.71)- (5.73), выражают через координаты следую­

щим образом:

[r_,r+] = ху(х+)- х+у(х_), lr-1 = Jx:_ + у2(х-),

Эти формулы удобны для практических расчетов длины ду­

ги. Разложим все функции у(х±) в ряды Тейлора согласно (5.67). Подставив эти разложения в (5.71)-(5.74), получим прибли­

женные выражения для угла и дуги окружности

sin tx+ = ~Х+ [Ухх+ ~(х++ Х-)Уххх+ О(х2)] ,

(5.75)

Для отношения длин дуг окружности (5.75) и точной кривой

получаем следующее выражение:

го члена входят оба приращениях+ их_). Следовательно, дуга

окружности аппроксимирует истинную дугу с третьим поряд­

ком точности.

Тем самым порядок точности (5.74) на единицу выше, чем

для длины хорды. Это уже неплохая точность. Поскольку длина дуги окружности вычисляется просто, этот способ следует реко­

мендовать для 1!рак12ики как первоочередной.

Длину дуги l+ = ln,n+1 можно вычислить этим способом два­

жды: один раз с использованием левого соседа - (п - 1)-й точ­

ки, и второй раз - по правой соседней (п + 2)-й точке. Обозна­

чим эти два приближения к длине искомой дуги через [~ и [~

соответственно. Существует алгоритм, вычисляющий по этим

приближениям и другой информации о точках более хороший

результат относительной точности O(l4). Однако этот алгоритм

гораздо более сложен.

Конmролъ. Построим несложный практический способ кон­ трОJ!Я достигаемой точности. Для этого используем дш!_ну хqр­

ды l+ = lr+I и оба приближения к дуге окружности l~ и l~.

207

Поскольку длина окружности есть гораздо лучшее приближе­

ние к истинной длине дуги, чем хорда, то асимптотически точ­

ной оценкой локальной погрешности хорды является величина

l+ - i+. Это не относительная погрешность, а абсолютная. В под­

разд. 5.6.2 показано, что относительная погрешность имеет вто­

рой порядок малости; следовательно, абсолютная погрешность

имеет третий порядок малости:

Два определения дуги окружности [~ и [~ отличаются на ве­

личину более высокого порядка малости:

Комбинируя эти оценки, получим следующий критерий:

При выполнении этого условия можно уверенно пользоваться любым из двух приближений к длине дуги окружности. В этом

случае в качестве окончательного значения длины дуги и ее по­

грешности можно принять

Отметим следующее: 1) критерий можно записать только

во внутренних интервалах, так как граничный интервал имеет

лишь одного соседа; 2) левое неравенство критерия может не

выполняться вблизи точки перегиба кривой, так как там радиус

кривизны R --> О и хорда почти неотличима от окружности. Но в

последнем случае и хорда, и окружность очень хорошо прибли­ жают истинную кривую, так что найденные длины и там обес­

печивают хорошую точность.

Заме'Чание. В замечании к подразд. 5.6.2 отмечалась улучшенная аппроксимация гладкой кривой, если сетка квазиравномерна. Это от­

носится и к параметризации дугами окружности. На квазиравномер­

ной сетке отношения (5.76) в соседних интервалах отличаются между

собой на величину О(х4 ). В этой ситуации с помощью параметризации

длиной окружности можно строить аппроксимации исходной кривой, имеющие четвертый порядок точности.

Многомерность. Вывод длин дуги окружности и хорды формально проводился для точек, лежащих в одной плоскости. Но для нахождения этих длин на самом деле строить эту плос­ кость нет необходимости. Все формулы написаны в векторном

208