УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК

Серия «Прикладная математика и информатика»

ЧИСЛЕННЬIЕ

МЕТОДЫ

В ДВУХ КНИГАХ

Книга 1

Н. Н. КАЛИТ КИН, Е. А. АЛЬШИНА

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ

Допущено

Учебно-методическим объединением по классическомууниверситетскому образованию

в качествеучебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям «Прикладная математика и информатика»,

«Фундаментальная информатика и информационные технологии>>

...• ... 1

ACADEMA

Москва Издате()ьский центр нАкадемиян

2013

ПРЕДИСЛОВИЕ

Использование компьютеров для вычислений позволило от

простейших расчетов и оценок различных конструкций или про­

цессов перейти к новой стадии работы - детальному математи­

ческому моделированию (вычислительному эксперименту), ко­

торое существенно сокращает потребность в дорогостоящих, а

нередко даже опасных натурных экспериментах.

В основе вычислительного эксперимента лежит решение урав­

нений математической модели численными методами.

Сложные вычислительные задачи, возникающие при иссле­

довании различных физических и технических проблем, можно

разделить на ряд элементарных: вычисление интеграла, реше­

ние дифференциального уравнения и т. п. Многие элементарные задачи являются несложными и хорошо изучены. Для этих за­ дач уже разработаны методы численного решения и обычно име­ ются стандартные программы. Возникает вопрос: «Нужно ли

практику-вычислителю изучать численные методы при наличии

стандартных программ?»

Ответ на вопрос дает следующий пример. Известно, что sin х можно разложить в ряд Тейлора, который знакопеременен и схо­ дится при любом значении х. Согласно классической математи­

ке, погрешность частичной суммы этого ряда не превышает пер­

вого отброшенного члена. Составленная программа для 64-раз­

рядного компьютера обрывает вычисления, если очередной член

ряда Тейлора меньше 10-8 . При задании угла х = 2 550° был

получен ответ: sin 2 550° = 29, 5 ... !!! Из данного примера сле­

дует очевидный вывод - полагаться на мощность компьютера

и незнакомую программу рискованно, следует знать численные

методы, включая тонкости вычисления алгоритмов.

Для каждой задачи существует множество методов решения. Например, хорошо обусловленную систему линейных уравнений можно решать методами Гаусса, Жордана, оптимального ис­ ключения, окаймления, отражений, ортогонализации и др. Ин­ терполяционный многочлен записывают в формах Лагранжа, Ньютона, Грегори - Ньютона, Бесселя, Стирлинга, Гаусса и Ла-

3

пласаЭверетта. Подобные методы обычно являются вариаци­

ями одного-двух основных методов, и даже если в каких-то част­

ных случаях они имеют преимущества, то незначительные. Кро­ ме того, многие методы были созданы до появления компьюте­

ров, и ряд из них в качестве существенного элемента включа­

ет интуицию вычислителя. Компьютерное вычисление потребо­ вало переоценки существующих методов, поскольку эффектив­

ность многих методов сильно зависит от мелких деталей алго­

ритма, почти не поддающихся теоретическому анализу; поэто­

му окончательно отобрать лучшие методы можно лишь, исполь­

зуя большой опыт практических расчетов. Попытка такого отбо­ ра сделана авторами в данном учебнике на основе многолетнего опыта решения большого числа разнообразных задач математи­

ческой физики. Для большинства рассмотренных в книге задач

изложены только наиболее эффективные методы с широкой об­ ластью применимости. Несколько методов для одной и той же

задачи даны в том случае, если они имеют существенно разные

области применимости или если для этой задачи еще не разра­ ботаны достаточно удовлетворительные методы.

Изложению численных методов посвящено немало книг, од­ нако большинство из них ориентировано на студентов и науч­ ных работников математического профиля. Данный же учебник предназначен для широкого круга читателей - как учебник для студентов и аспирантов физических и технических специально­ стей и как справочное пособие для научных сотрудников, инже­ неров и математиков-вычислителей. Авторы старались сочетать

простоту изложения, разумную степень строгости, умеренный

объем и широту охвата материала. Большое внимание в книге

уделено рекомендациям по практическому применению алгорит­

мов; изложение пояснено рядом примеров. Для обоснования ал­

горитмов использован несложный математический аппарат, зна­

комый студентам физических и инженерных специальностей. Книга является полным курсом численных методов для фи­

зических и инженерных специальностей; для математических

специальностей вузов она может быть вводным курсом числен­ ных методов, после которого слушатели могут изучать углуб­

ленные спецкурсы.

Учебник написан на основе курса лекций, читавшихся вна­ чале инженерам-конструкторам, а после переработки курса - студентам физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова и некоторых других вузов. Он дополнен рядом актуальных раз­

делов (решение жестких систем, задачи в неограниченных обла-

4