1.9 Расчёт коэффициентов уравнения регрессии, проверка их статистической значимости

Расчёт коэффициентов уравнения регрессии выполняется по формулам (1.11-1.13). По результатам эксперимента вычисляют коэффициенты модели. Свободный член находится по формуле (1.11):

, (1.11)

где – среднее значение результатов эксперимента,

N – число строк матрицы планирования.

Коэффициенты регрессии, характеризующие линейные эффекты определяются по выражению (1.12):

. (1.12)

Коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия определяются по формуле (1.13):

, (1.13)

где i, l – номера факторов; x_ij, x_lj – кодированные значения факторов i и l в j-м опыте.

.

Последующие расчёты выполняются по аналогии.

b₁ = 98,364, b₂ = 73,214, b₃ = 99,111, b₄ = 19,797, b₁₂ = -93,782,

b₁₃ = 0,246, b₁₄ = -0,278, b₂₃ = -39,674, b₂₄ = 0,277, b₃₄ = 68,069,

b₁₂₃ = 32,778, b₁₂₄ = -0,026, b₁₃₄ = 91, b₂₃₄ = -0,199, b₁₂₃₄ = -0,12.

Проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии производится по критерию Стьюдента. Для этого необходимо вычислить дисперсию ошибок , предварительно определив дисперсию воспроизводимости по формулам (1.14) и (1.15).

, (1.14)

. (1.15)

= 5,896 + 7,944 + 9,148 + 7,211 + 8,262 + 11,643 + 12,211 + + 3,909 + 10,906 + 13,204 + 3,061 + 3,921 + 5,774 + 15,447 + 8,9 + 9,619 = = 137,057.

137,057 / 16 = 8,566.

8,566 / 13 · 16 = 0,041.

Далее необходимо определять расчётные значения критерия Стьюдента по формуле (1.16), предварительно вычислив ошибку в определении i-го коэффициента регрессии S{b}.

. (1.16)

,

t₀ = = 5863,306.

Последующие расчёты выполняются по аналогии.

t₁ = 484,704, t₂ = 360,773, t₃ = 488,385, t₄ = 97,551, t₁₂ = 462,126,

t₁₃ = 1,211, t₁₄ = 1,372, t₂₃ = 195,498, t₂₄ = 1,367, t₃₄ = 335,419,

t₁₂₃ = 161,52, t₁₂₄ = 0,13, t₁₃₄ = 448,414, t₂₃₄ = 0,978, t₁₂₃₄ = 0,59.

Критерии t₁₃, t₁₄, t₂₄, t₁₂₄, t₂₃₄, t₁₂₃₄ оказались меньше критического значения t_кр = 1,653 при a = 0,1, f = (n-1)N = 12·16 = 192, следовательно, коэффициенты регрессии b₁₃, b₁₄, b₂₄, b₁₂₄, b₂₃₄, b₁₂₃₄ являются статистически незначимыми и их нужно исключить из уравнения.

1.10 Проверка адекватности модели, содержащей только основные эффекты и эффекты взаимодействия

Для проверки имитационной модели на адекватность используем формулу (1.17).

, (1.17)

где – среднее значение параметра оптимизации в j-м опыте,

– значение параметра оптимизации, вычисленное по модели для условий j-го опыта,

f – число степеней свободы: f=N-(k+1),

k – число факторов.

Имитационная модель:

,`

где X_i – это соответствующее значение безразмерного фактора.

Тогда теоретические значения функции отклика будут равны:

Y₁ = 1189,877 + 98,364 + 73,214 + 99,111 + 19,797 – 93,782 – 39,674 + + 68,069 + 32,778 + 91 = 1538,754.

Последующие расчёты выполняются по аналогии.

Y₂ = 1282,035, Y₃ = 1593,681, Y₄ = 1092,946, Y₅ = 1036,186,

Y₆ = 1274,578, Y₇ = 1063,532, Y₈ = 795,682, Y₉ = 1181,024,

Y₁₀ = 1288,303, Y₁₁ = 1235,951, Y₁₂ = 1099,214, Y₁₃ = 1314,729,

Y₁₄ = 1189,123, Y₁₅ = 1342,075, Y₁₆ = 710,227.

Сравнивая теоретические значения Y_j функции отклика с ее экспериментальными средними значениями, можно подсчитать дисперсию адекватности:

.

Таким образом, дисперсия адекватности больше дисперсии воспроизводимости эксперимента , значит необходимо провести проверку по критерию Фишера. Для этого используем формулу (1.18).

. (1.18)

.

Расчётное значение оказались меньше табличного при a = 0,1, f₁ = N – (k + 1) = 16 – (4 + 1) = 11, f₂ = 16(13 – 1) = 192, F_кр = 1,604 следовательно, модель оказалась адекватной.

Имитационная модель содержащая основные эффекты:

Y_осн = 1189,877 + 98,364X₁ + 73,214X₂ + 99,111X₃ +19,797X₄.

Тогда теоретические значения функции отклика будут равны:

Y₁ = 1189,877+ 98,364 + 73,214 + 99,111 + 19,797 = 1480,363.

Последующие расчёты выполняются по аналогии.

Y₂ = 1283,635, Y₃ = 1333,935, Y₄ = 1137,207, Y₅ = 1282,141,

Y₆ = 1085,413, Y₇ = 1135,713, Y₈ = 938,985, Y₉ = 1440,77,

Y₁₀ = 1244,042, Y₁₁ = 1294,342, Y₁₂ = 1097,614, Y₁₃ = 1242,548,

Y₁₄ = 1045,82, Y₁₅ = 1096,12, Y₁₆ = 899,392.

Сравнивая теоретические значения Y_j функции отклика с ее экспериментальными средними значениями, можно подсчитать дисперсию адекватности:

.

Дисперсия адекватности больше дисперсии воспроизводимости эксперимента , проводим проверку по критерию Фишера.

.

Расчётное значение оказались больше табличного при F_кр = 1,604, следовательно, модель оказалась неадекватной.

В итоге, адекватной оказалась только та модель, которая содержит эффекты взаимодействия.