5.1.1 Замечания

1. В случае, когда зависимая переменная Y не является количественной, а принадлежит к категориальной порядковой шкале, используют т.н. неметрический дисперсионный анализ (nonmetric analysis of variance). В качестве характеристики центральной тенденции в группах используются не среднее, а медиана. Для этого случая также имеется набор статистических процедур, позволяющих решить задачу дисперсионного анализа - выявить наличие или отсутствие влияния выбранных факторов и их сочетаний на соответствующие центральные показатели в группах. Отметим среди этих процедур K–выборочный медианный тест, однофакторный анализ на базе рангового критерия Крускала-Уоллиса, описанный ранее.

2. Если зависимая переменная Y имеет векторный характер, то есть является многомерной с.в., то применяют т.н. многомерный дисперсионный анализ (MANOVA – multivariate analysis of variance), однофакторный или многофакторный.

Цель анализа остается прежней – проверить различия средних значений в группах, но уже в отношении нескольких зависимых переменных - компонент Y .

Многомерный дисперсионный анализ используют преимущественно в случаях, когда компоненты вектора Y коррелированны. В противном случае предпочтительнее выполнить ANOVA для каждой из этих компонент.

Место дисперсионного анализа в ряду других важнейших статистических методов демонстрирует диаграмма на рисунке 4.

Рисунок 4 – Ряд статистических методов

5.2 Полный двухфакторный анализ

Пусть фактор А разбит на p₁ уровней, а фактор В на p₂ уровней. Данные статистического эксперимента, таким образом, распадаются в матрицу с p₁ строками и p₂ столбцами. Наблюдение, попавшее в (i, j)−ую ячейку этой матрицы, обозначим через y_ij. Разброс данных обусловлен как чисто случайными (неучтенными) факторами, так и влиянием на результат эксперимента рассматриваемых нами факторов. Обозначим через η_ij истинное среднее значение отклика в (i, j)−ой ячейке. Степень различия между этими средними указывает на степень влияния факторов на результат. Основным моментом излагаемой далее теории 2-факторного Д_A является представление среднего η_ij в виде четырех слагаемых: η_ij =  + а_i + + y_ij.

Покажем справедливость этого представления и, заодно, дадим интерпретацию входящих в него слагаемых.

Обозначим через A_i = η_i. – истинное среднее i-ого уровня фактора А (– среднее в i -ой строке). Аналогично, через Bj = η.j обозначим истинное среднее j -ого уровня фактора В (– среднее по j -ому столбцу).

Общее среднее значение ожидаемых результатов экспериментов по всем ячейкам – генеральное среднее.

 = ղ…=

Отличие среднего i -ого уровня фактора А от генерального среднего естественно взять в качестве меры влияния фактора А на отклик. Соответствующая разность α_i = A_i − µ называется главным эффектом i-ого уровня фактора А. Аналогично, главным эффектом j –ого уровня фактора В называется отклонение β_j = B_j − µ.

Заметим далее, что главный эффект α_i есть среднее (по столбцам) величин η_ij − B_j : α_i =(η_ij − B_j)/p₂. Указанные величины можно трактовать как эффекты уровней А по отношению к j-ому уровню В. Поэтому превышение этой величины над своим средним естественно назвать взаимодействием i-ого уровня А с j-ым уровнем В: γ_ij = η_ij −B_j − α_i = η_ij − A_i −B_j + µ.

Легко проверить, что взаимодействие удовлетворяет всем соотношениям: η_ij = A_i+B_j +γ_ij−µ = µ+(A_i−µ)+(B_j−µ)+γ_ij = µ+ α_i+ β_j +γ_ij.