5 Модели дисперсионного анализа

5.1 Однофакторный дисперсионный анализ

Простейшим случаем Д_а (Дисперсионный анализ) является однофакторный анализ. Этот термин относится к сравнению средних нескольких одномерных популяций. Обозначим эти средние через β₁, …, β_р и предположим, что наблюдения в каждой популяции имеют нормальное распределение с одинаковой дисперсией σ². Пусть в каждой из популяций было произведено n₁, …, n_р наблюдений, соответственно. Тогда i-ое наблюдение в j -ой популяции может быть записано в виде: y_ji = β_j + ε_ji (где ε_ji – ошибка наблюдения.)

Представим соотношение в матричной форме. Для этого рассмотрим p -мерный вектор = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)′ с единственным ненулевым элементом, стоящим на j-ом месте, и матрицу X = ( , … , , … , … ), у которой первые n₁ столбцов совпадают с вектором , последующие n₂ столбцов совпадают с , последние n_р совпадают с вектором . Тогда вектор наблюдений: и соответствует вектором ошибок .

ОМНК параметров удовлетворяет нормальным уравнениям ХХ’ = Х причём, если r = rang Х = р, то = S^-1 Х с информационной матрицей

S = ХХ’. , … , , … )

Произведение образует матрицу р*р, у которой все элементы равны 0, кроме j-ого диагонального элемента, который равен 1. Информационная матрица равна диагональной матрице:

и

Легко увидеть, что Х , следовательно , где с целью сокращения записи введено обозначение .

Сумма квадратов ошибок:

.

Последнее равенство является следствием известного утверждения (сравните с двумя способами вычисления дисперсии), которое мы будем часто использовать в дальнейшем изложении.

Рисунок 1 – Разложение полной вариативности результирующего признака У в модели однофакторного дисперсионного анализа

Схема разложения полной вариативности исследуемого признака в модели однофакторного дисперсионного анализа с указанием соответствующих вариативностям S², S³_A, S²_R чисел степеней свободы, связывающее эти параметры соотношение, а также выражения для средних

вариативностей MST , MSA, MSW (или, что тоже, вариативностей в расчете на одну степень свободы; «M» – от «Mean»), называемых полной, межгрупповой и внутригрупповой дисперсиями, приведены на рисунке 1.

О бщая схема проведения многофакторного дисперсионного анализа остается прежней и может быть отражена посредством диаграммы, представленной на рисунке 2.

Рисунок 2 – Общая схема проведения многофакторного дисперсионного анализа

При интерпретации результатов многофакторного ANOVA наиболее существенными моментами являются взаимодействие факторов, их относительная важность и множественные сравнения.

1. Взаимодействие. Различают упорядоченные взаимодействия (ordinal interaction) и неупорядоченные (disordinal interaction). В первом случае ранжированный порядок эффектов, связанных с уровнями одного фактора, не меняется при изменении уровней другого (говорят еще: «вдоль уровней другого»). Во втором случае такое ранжирование (то есть монотонное изменение эффекта) отсутствует.

Возможные типы взаимодействия схематизированы (см. рисунок 3) для

случая, когда фактор A имеет три уровня A⁽¹⁾, A⁽²⁾, A⁽³⁾, а фактор B – два уровня B⁽¹⁾ и B⁽²⁾.

На изображенных диаграммах для описанной ситуации представлены

средние значения результирующего признака в ячейках (ячейка – одно из возможных сочетаний уровней факторов A и B; всего их ʋ_A*ʋ_B = 3*2 = 6 в данном случае).

Как уже отмечалось выше, взаимодействие факторов значительно затрудняет анализ основных эффектов. Действительно, становится невозможно определить наличие статистически значимой разницы между средними значениями зависимой переменной Y для разных уровней фактора A (B), поскольку эта разность различна на разных уровнях фактора B (A) – ломаные на диаграммах «непараллельны» (указанная разность может даже поменять знак в случае неупорядоченного взаимодействия пересекающегося типа).

2. Относительная важность факторов. Если факторы невзаимосвязаны, то можно однозначно определить относительную важность каждого из них при объяснении полной дисперсии результирующего признака. Используемый для этого критерий называют в статистике ω² (омега в квадрате; omega squared):

( замена A B дает аналогичную формулу для ω²_B).

В соответствии с применяемым на практике эмпирическим правилом, относительное влияние фактора считается значительным, если для него ω² > 0,15.

Рисунок 3 – Типы взаимодействия

3. Множественные сравнения. Как и в однофакторном дисперсионном анализе, при наличии нескольких факторов F–критерий позволяет проверить только значимость общего влияния фактора на среднее значение Y . При этом статистически различными могут быть не все, а лишь некоторые средние в группах, так что необходимо иметь возможность проверить различие конкретных средних значений.

С этой целью в множественном дисперсионном анализе используют описанный выше метод контрастов, называемый также методом множественных сравнений. При помощи этого метода строятся итоговые доверительные интервалы, на основании которых можно выполнить попарные сравнения всех средних, отвечающих всевозможным комбинациям уровней факторов, включенных в эксперимент.

Ниже перечислено несколько критериев для таких сравнений (в

порядке убывания мощности, то есть снижения p(H1/H1)):

• проверка наименьшего значения значимой разности средних;

• критерий множественного размаха Дункана;

• метод Стьюдента-Ньюмана-Келса;

• альтернативный метод Тьюки

• модифицированная проверка наименьшего значения значимой разности;

• критерий Шеффе.