Тема 12. Обходы графов

1) Эйлеровы цикл и цепь, критерии их существования

Теорема об эйлеровых цепях: Связный граф содержит эйлерову цепь тогда и только тогда, когда он имеет не более двух вершин нечетной степени.

2) Алгоритм построения эйлерова цикла

3) Гамильтоновы цикл и цепь

Гамильтоновой цепью графа называется такая его простая цепь, которая проходит через каждую вершину ровно один раз. Замкнутая гамильтонова цепь называется гамильтоновым циклом. Граф называется гамильтоновым, если он обладает гамильтоновым циклом. Гамильтонов цикл не обязан проходить по всем ребрам графа.

Почитать про Коммивояжера*

4) Раскраска графа

5) Хроматическое число графа

6) Критерий бихроматичности

7) Раскраска плоских графов

Почитать

Тема 13. Ориентированные графы: первичные понятия

1) Ориентированный граф (орграф)

2) Диаграмма орграфа

3) Изоморфные орграфы

4) Матрицы смежности и инцидентности орграфа

5) Ориентированные пути, цепи, циклы

6) Слабая и сильная связность

Ориентированный граф называется сильно связным, если любая вершина в нем достижима из любой другой вершины. Заменяя каждую дугу 𝑢 = (𝑎, 𝑏) орграфа 𝐺 на ребро 𝑢 = 𝑎𝑏, получаем неориентированный граф 𝐺0, называемый основанием данного орграфа 𝐺. Орграф называется связным (слабо связным), если связно его основание. Очевидно, что сильно связный граф является связным; обратное утверждение в общем случае неверно.

7) Понятие ориентированного дерева

Из определения непосредственно следует, что в каждом ориентированном дереве есть ровно одна вершина (корень), в которую не входят дуги, в каждую из остальных вершин входит ровно по одной дуге и все вершины достижимы из корня. Вершины ориентированного дерева, из которых не выходят дуги, называются листьями. Если из вершины 𝑎 ведет дуга в вершину 𝑏, то 𝑎 называется отцом, а 𝑏 - сыном. Из определения дерева следует, что у каждой вершины (кроме корня) имеется единственный отец. Если из вершины 𝑎 ведет путь в вершину 𝑏, то 𝑎 называется предком, а 𝑏 - потомком. Путь из корня в лист называется ветвью дерева. Максимальная из длин ветвей дерева называется высотой дерева. Глубина вершины - это длина пути из корня в эту вершину. Для вершины 𝑣 подграф дерева 𝑇, включающий все достижимые из 𝑣 вершины и инцидентные им дуги, образует поддерево 𝑇v с корнем 𝑣. Высота вершины 𝑣 - это высота дерева 𝑇v.

8) Графы и бинарные отношения

9) Постановка задачи об отыскании кратчайших путей в сети

Наименьшую из длин путей из вершины 𝑎 в вершину 𝑏 назовем расстоянием от 𝑎 до 𝑏, а тот путь из 𝑎 в 𝑏, длина которого равна расстоянию от 𝑎 до 𝑏, будем называть кратчайшим путем из 𝑎 в 𝑏. Рассмотрим задачу о кратчайших путях: в заданной сети 𝐺 найти расстояние и кратчайший путь от фиксированной вершины 𝑠 до остальных вершин. Одним из алгоритмов ее решения является алгоритм Дейкстры. Прежде чем перейти к его изложению, введем ряд условных обозначений. Через 𝑑(𝑣) обозначим расстояние от 𝑠 до 𝑣, т.е. длину кратчайшего пути из 𝑠 в 𝑣 (если, конечно, хотя бы один путь из 𝑠 в 𝑣 существует). Каждой паре вершин 𝑣 и 𝑤 поставим в соответствие число 𝑐(𝑣, 𝑤), которое определим следующим образом: если в графе есть дуги, исходящие из 𝑣 и заходящие в 𝑤, то 𝑐(𝑣, 𝑤) положим равным весу самой «легкой» из них; если ни одной такой дуги в графе нет, то будем считать 𝑐(𝑣, 𝑤) = ∞.

10) Алгоритм Дейкстры, его обоснование

Алгоритм Дейкстры последовательно находит ближайшую к 𝑠 вершину (т.е. вершину, расстояние от 𝑠 до которой является наименьшим из расстояний от вершины 𝑠 до других вершин сети) и расстояние от 𝑠 до нее, затем следующую ближайшую к 𝑠 вершину и т.д. На каждом шаге алгоритма всем вершинам графа даются «метки», временные либо постоянные. Постоянные метки имеют те вершины, расстояние до которых от вершины 𝑠 уже определено (собственно, это расстояние и является постоянной меткой вершины). Любая другая вершина 𝑤 получает временную метку, равную длине того пути, который является самым коротким (т.е. наименьшим по длине) из всех путей из 𝑠 в 𝑤, идущих, вплоть до 𝑤, исключительно через вершины с постоянными метками.