МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ»

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

ОЦЕНКА

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

доц., к. ф. – м. н., доц.				Г.Н. Дьякова
должность, уч. степень, звание		подпись, дата		инициалы, фамилия

РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ВЫБОРКИ

по дисциплине: МАТЕМАТИКА. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

СТУДЕНТ ГР. №	4116		14.12.22
			подпись, дата		инициалы, фамилия

РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ

Санкт-Петербург 2022

Условие задания:

Заданную выборку объемом n=50:

1. Сгруппировать в виде вариационного ряда (сосчитать размах выборки и разбить на 10 одинаковых интервалов).

2. Построить гистограмму и полигон относительных частот.

3. Вычислить выборочное среднее, оценку второго центрального момента, несмещенную оценку для дисперсии.

4. Считая, что изучаемый параметр у элементов генеральной совокупности распределен нормально, найти доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью 0.90, при условиях известной/неизвестной дисперсии.

5. Считая, что изучаемый параметр у элементов генеральной совокупности распределен нормально, найти доверительный интервал для дисперсии с доверительной вероятностью 0.90.

6. Используя критерии Пирсона при уровне значимости 0.10, проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки и проанализировать полученный результаты.

1.) Для построения дискретного вариационного ряда выполнена сортировка ряда по возрастанию (таблица 1):

Таблица 1

1.189	7.448	17.173	24.866	33.727
1.317	10.783	18.539	25.114	36.12
3.072	11.055	18.542	26.227	36.305
3.367	11.095	18.706	26.373	36.553
3.912	12.403	20.163	26.764	36.686
4.62	13.508	24.086	27.468	38.623
5.166	14.699	24.127	31.097	40.227
7.009	15.803	24.168	31.426	40.39
7.282	16.003	24.326	31.515	41.991
7.372	16.89	24.506	33.028	42.631

Размах выборки:

∆ = x_max - x_min = 42,631 – 1,189 = 41,442

Преобразование вариационный ряда в интервальный с числом интервалов L = 10.

Длина интервалов:

Построение интервального вариационного ряда в программе Excel (рис. 1).

Рис.1-Интервальный ряд

2.) Чтобы построить гистограмму и полигон относительных частот произведены следующие вычисления:

Середина каждого интервала: x_i =

Относительная частота: w_i = , где n = 50

Плотность частот:

Все полученные данные занесены в таблицу Excel (рис.2)

Рис.2- Таблица результатов вычислений

Рис.3-Гистограмма

Рис.4-Полигон относительных частот

3.) Вычисление выборочного среднего:

Вычисление оценки второго центрального момента:

= 145,94

Вычисление несмещенной оценки для дисперсии:

4.) Нахождение доверительного интервала для математического ожидания с доверительной вероятностью 0.90, при условии, что дисперсия известна:

– уровень значимости (надежность)

М[ = m =

D[ ] = => D[ ] = 2,91

= 1,7

Используется формула:

Где = = 0,45

, тогда

3,98

Нахождение доверительного интервала для математического ожидания с доверительной вероятностью 0.90, при условии, что дисперсия неизвестна:

(t - критическая точка распределения Стьюдента, которая находится по таблице критических точек распределения Стьюдента)

При = 0,90 и N= 50, t= 1,675, тогда

1,49

5.) Нахождение доверительного интервала для дисперсии с доверительной вероятностью 0,90

= 0.95

Объём выборки более 30, поэтому для вычисления можно воспользоваться асимптотической формулой:

Квантили нормального распределения равны: U _0.05 = −1.65, U _0.95 = 1.65, значит

По формуле , получается

10,48 14,67

6.) Чтобы ни в одном интервале не было менее 5 вхождений в интервал, объединим их:

Получается 6 подинтервалов.

Обозначим за z_i, за z_i+1

Все вычисления помещены в таблицу:

Сумма теоретических частот равна 49,985 из-за ошибок округления при выполнении расчётов.

= 98,328

П равосторонняя критическая область, удовлетворяющая неравенству:

α = 0.1, k = s − 3 = 6 − 3 = 3

Равномерное распределение, как и нормальное, зависит от двух параметров, при этом критическая точка . Наблюдаемое (эмпирическое) значение критерия и попадает в критическую область: > . Гипотеза о равномерном распределении генеральной совокупоности при уровне значимости α = 0.1 должна быть отвергнута. Данные выборки распределены не по нормальному закону.