4.Метод дихотомии
Проведём расчёт трёх итераций методом дихотомии в программе Mathcad:
Результаты работы:
-
N
a
b
x1
x2
f(x1)
f(x2)
Δn
0
2.4
2.8
2.5996
2.6003
-3.4834
-3.4835
0.2003
1
2.5996
2.8
2.6995
2.7001
-3.4729
-3.4727
0.1005
2
2.5996
2.7001
2.6495
2.6502
-3.4823
-3.4822
0.0505
3
2.5996
2.6502
5.Вычислить число итераций, необходимых, чтобы локализовать точку минимума с точностью E1 = 10-4 методами дихотомии и золотого сечения.
Теоретическая величина погрешности для метода золотого сечения определяется длиной конечного отрезка неопределенности после N итераций:
Получаем неравенство:
Решив уравнение, получим:
Именно за столько итераций было найдено значение с помощью кода, значит значение найдено верно.
Теоретическая величина погрешности для метода дихотомии определяется длиной конечного отрезка неопределенности после N итераций:
Получаем неравенство:
Решив уравнение, получим:
Именно за столько итераций было найдено значение с помощью кода, значит значение найдено верно.
6.Оптимизация с помощью пакета Mathcad
Точка локального минимума согласно функции minimize: 2.6179939, что входит в рамки полученные методами дихотомии и золотого сечения.
7.Выводы
|
Метод дихотомии |
Метод золотого сечения |
Функция Mathcad |
|
Mathcad |
Mathcad |
Программа |
||
x |
2.624958 |
2.600005 |
2.61797798203348 |
2.6179939 |
f(x) |
-3.4839 |
-3.48345 |
-3.48401928133827 |
-3.4840193 |
В ходе выполнения лабораторной работы были получены приблизительные значения точки локального минимума функции f(x) = sin(2x) – x на отрезке [2.4;2.8] методами дихотомии и золотого сечения. Результаты методов сошлись с машинном решением в рамках погрешности. Можно сделать вывод, что метод золотого сечения точнее метода дихотомии, однако требует больше итераций.