МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ СВЯЗИ И

МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ

Ордена трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Московский технический университет связи и информатики»

Кафедра «Информатика»

Лабораторная работа №4

по дисциплине «Численные методы»

на тему

«Численное интегрирование»

Проверил:

Москва, 2024

Содержание

Постановка задачи 2

Метод средних прямоугольников 3

Метод трапеций 4

Метод Симпсона 5

Программа вычисления интеграла с помощью метода трапеций 6

Вывод 8

Постановка задачи

Вариант 25

№	Подынтегральная функция	a	b	t	m
25	f(x) = sin(x + 1) e2 / x	1	2	3	2	0.25

1. Выбрать индивидуальное задание из табл.3-1 для численного интегрирования:

• f(x) – подынтегральную функцию;

• a, b– пределы интегрирования;

• методы интегрирования для выполнения п.2 – значение в столбце tиm;

• начальный шаг интегрирования h_0.

При этом значения в столбцах t и m означают: 1 –интегрирование методом средних прямоугольников, 2 – методом трапеций, 3 – методом Симпсона.

2. В сценарии пакета Scilab создать функцию для вычисления интеграла по 1-му заданному методу, определяя значения (столбец m)из табл. 3-1, с шагом и ( и ).

3. Провести оценку погрешностей полученных результатов по правилу Рунге.

4. Провести оценку погрешностей полученных результатов по правилу Рунге.

5. Написать и выполнить программу вычисляется интеграла по 2-му заданному методу (столбец t из табл. 3-1) с точностью 10^-4.

6. Вычислить заданный интеграл с использованием функции intg пакета Scilab.

Метод средних прямоугольников

Вычислим интеграл по формуле средних прямоугольников и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчёта:

Вычисление интегралов с шагом и /2 (I_ho и I_ho/2) и оценка его погрешности по правилу Рунге.

Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путём двойного просчёта интеграла с шагами h/2 и h, при этом погрешность вычисляется по формуле .

Полагают, что интеграл вычислен с точностью Е, если тогда , где – уточненное значение интеграла, p – порядок метода.

Расчёт в Mathcad

Метод трапеций

Вычислим интеграл по формуле трапеций и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчёта

Расчёт в Mathcad

Метод Симпсона

Вычислим интеграл по формуле Симпсона и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчёта:

Расчёт в mathcad

Программа вычисления интеграла с помощью метода трапеций

import math

E = 0.00001

a = 1

b = 2

h = 0.25

n = int((b - a) / h)

# Определение функции

def f(x):

return math.sin(x + 1) * math.exp(2 / x)

# Начальное приближение интеграла

s = (h / 2) * (f(a) + f(b))

s1 = 0

# Цикл для уточнения значения интеграла методом трапеций

while abs(s - s1) / 3 > E:

n = 2 * n

h = (b - a) / n

s1 = s

s = f(a) + f(b)

for i in range(1, n):

s += 2 * f(a + i * h)

s *= h / 2

print(h,n,s,s1)

R = (s1 - s) / 3

I = R + s

print(f'Погрешность: {R}, Ih: {s}, Ih/2: {s1}, I: {I}')

Результат работы кода:

Ih = 2.648695736329257

Ih/2 = 2.6487087345750386

R = 4.3327485938308525e-06

I = 2.648700069077851

Вывод

В процессе выполнения лабораторной работы были получены численные интегрирование функции f(x) = sin(x + 1) e^{2 / x} в пределах от 1 до 2 методом средних квадратов, методом трапеций и методом Симпсона.

Результаты ручного расчёта в пакете Mathcad и программным кодом совпадают с результатами расчёта программой и друг с другом в рамках погрешности.

	I	R
Метод трапеций
Ручной расчёт	2.649089	0.0172423
Программа	2.648700069077851	4.332748593830852e-06