Теорема Котельникова

Слайд 2

Сигнал — это физический процесс или величина, которая несет информацию и используется для её передачи, обработки и хранения. Он может быть любым изменяющимся во времени параметром, например, напряжением, током или световой интенсивностью, который передаёт данные от источника к получателю.

Сигналы бывают непрерывными (аналоговыми) и дискретными (цифровыми). В первом случае сигнал меняется плавно и может принимать бесконечное количество значений, во втором — он принимает определённые фиксированные значения, что облегчает обработку данных цифровыми устройствами.

Слайд 3

Аналоговый сигнал - это непрерывный сигнал, который изменяется плавно и может принимать любые значения в пределах заданного диапазона. Он чаще всего представлен в виде волны и используется для передачи информации в аналоговых системах, таких как звук или изображение в его естественной форме. Аналоговые сигналы передают информацию через амплитуду, частоту или фазу волны

Слайд 4

Дискретный сигнал — это сигнал, значения которого определены только в определённые моменты времени, а между этими моментами он не имеет значения или остаётся неизменным. Иными словами, дискретный сигнал передаёт информацию через ряд отдельных, фиксированных значений.

Примером такого сигнала является цифровой сигнал, сигнал, который можно представить в виде последовательности дискретных (цифровых) значений. Он представляет информацию в двоичной форме и используется в компьютерных системах и цифровых устройствах Цифровой сигнал менее чувствителен к шумам, чем аналоговый, что позволяет передавать данные с большей точностью и надёжностью.

Слайд 5

Поскольку все вычислительные информационные устройства могут работать лишь с дискретными символьными системами и с цифровыми сигналами, постоянно возникает необходимость в переходе от существующих в природе непрерывных процессов (аналоговых сигналов), к дискретным и цифровым. С развитием цифровой связи и цифровых устройств (микроконтроллеров, компьютеров) постоянно и повсеместно на каждом шагу выполняется аналого-цифровое преобразование сигналов, неотъемлемой частью которого является дискретизация сигналов.

Слайд 6

Частота дискретизации

Это важный параметр АЦП, который определяет, как часто мы берём образцы АС для его преобразования. Фактически это количество измерений или отсчётов, сделанных в течение определённого промежутка времени.

В аналого-цифровом преобразовании, термин теорема Найквиста, в чистом виде не используется и не упоминается в литературе. Работы Котельникова и Шеннона привели к слиянию общих наработок в области АЦП и появлению единой концепции. Её называют теоремой Котельникова в российской, а Шеннона – Найквиста — в англоязычной литературе.

Частота Найквиста – это важный показатель в АЦП. Он отражает, какова должна быть минимальная периодичность выполнения выборок, чтобы АС получилось эффективно восстановить. Фактически число Найквиста – это минимально необходимая частота дискретизации аналого-цифрового преобразователя.

Слайд 7-9

Простейшим аналоговым сигналом является синусоидальная волна. Она имеет свою амплитуду, длину и периодичность повторения.

Однако в большинстве своём АС имеет сложную форму и его невозможно описать какой-либо простой функцией. Для этого используют преобразование Фурье. Оно позволяет разложить её в виде алгебраической суммы простых функций. Каждая вносит свой вклад и имеет собственную амплитуду и частоту. Так что спектр сигнала – это график, на котором отражены частоты преобразовываемого АС. Спектр описывается амплитудно-частотной характеристикой.

1. fv​ — основная частота сигнала или его фундаментальная частота. Это самая низкая частота в спектре сигнала, соответствующая базовому колебательному компоненту.

2. 2fv — вторая гармоника или удвоенная частота fvf_vfv​. Она представляет собой гармоническое искажение сигнала, которое возникает из-за наличия нелинейных процессов в системе, в которой формируется сигнал.

3. f — другая важная частота, которая может быть дополнительной характеристической частотой сигнала, вызванной каким-либо периодическим процессом или модуляцией.

Эти пики показывают, какие частоты присутствуют в сигнале и с какой амплитудой, позволяя анализировать структуру и источники сигнала.

Слайд 10

Её определение следующее: непрерывный сигнал s(t), который ограничен по спектру частотой fв, определяется совокупностью мгновенных значений (отсчётов) s(tк) в моменты времени tк = k . ∆t, отстоящие друг от друга на временной интервал.

То есть это означает, что периодичность, с которой мы должны измерять наш АС, зависит от параметров той его составляющей, что имеет максимальную частоту. При этом выборка осуществляется с периодичностью не меньше чем в два раза, превышающей частоту fв.

Слайд 11

Чтобы понять причину, почему выборка ограничена, рассмотрим пример. Если для синусоидальной волны с интенсивностью колебаний в 5 герц сделать её с разной периодичностью, то увидим, что при малом периоде собранные данные не будут достоверно отражать истинную форму исходной волны.

Однако так как большинство АС не описываются простыми функциями, то рассмотренный нами пример с синусоидой является исключением, так как для него недостаточно двукратного превышения частоты. При такой форме волны требуется четырёхкратное превышение ЧД. Однако в большинстве случаев при АЦП достаточно использовать частоту Найквиста.

Cлайд 12

Применение этой теоремы сопряжено с определёнными ограничениями, а именно:

• Ограничение частотной ширины спектра. Если он распределён по бесконечному диапазону, то теорема не применима.

• Применения аналоговых фильтров. Для правильной оцифровки необходимы фильтры, которые предназначены для устранения высокочастотных составляющих, выходящих за пределы частотного диапазона.

• Ограничение по времени. Теорема предполагает, что дискретизация непрерывных сигналов невозможна, поэтому они обязаны иметь конечный период.

• Наличие смещения. Например, если имеется постоянная амплитуда, то это нередко приводит к потере информации или искажениям при дискретизации.

• Ограничения обработки и хранения данных. Дискретизация с большой частотой требует большего объёма памяти для хранения данных и вычислительных мощностей. Поэтому такое ограничение называют физическим или техническим.

Эти ограничения не означают, что теорема неприменима вообще, а лишь указывают на условия, при которых она доступна к применению без утери информации, снижения передаточной характеристики и иных существенных искажений.

Слайд 13

Советы по использованию

Для правильной оцифровки нужно, чтобы ЧД быть не меньше, чем удвоенная максимальная частота в исходном АС. Таким образом, её выбор является первоначальным шагом.

• Вначале определяется максимальная частотная составляющая. Это выполняется путём анализа амплитудного спектра или визуализации его формы с помощью специального программного обеспечения.

• После этого выберите ЧД, вдвое превышающую максимальную, обнаруженную при анализе спектрограммы. Например, если она составляет 10 кГц, то дискретизации осуществляется не менее чем на 20 кГц.

• Поскольку аналого-цифровое преобразование иногда сопровождается алиасингом (наложением частот или общим искажением), потребуется применить фильтрацию. Это делается с использованием фильтров низкой частоты перед выборкой или постобработки после неё.

• Так как существует вероятность потери информации из-за выбора недостаточно высокой выборки, то стоит убедиться, что выбранная ЧД позволяет сохранить достаточное её количество, необходимое для адекватной его обработки и восстановления.

• Если при первоначальном выборе ЧД возникнут проблемы с сохранностью данных, то её уточняют, увеличивая значение. Однако важно помнить, что это также потребует более высоких вычислительных ресурсов и повышает сложность обработки.

Слайд 14

Области применения

Практическое применение теоремы встречается во всех областях, в которых задействована цифровая техника. Рассмотрим некоторые из них.

Цифровая обработка.

Здесь её применение помогает избежать потери данных и появления артефактов при обработке высокочастотной информации как на этапе аналого-цифрового, так и цифро-аналогового преобразования.

Телекоммуникация. В области телекоммуникаций применяется для определения минимальной пропускной способности канала связи. Это устраняет риск появления эффекта алиасинга и иных искажений передаваемой информации.

Обработка видео и изображений.

В этой области она позволяет определить максимальную ЧД и пропускную способность канала, при которой изображение или видео правильно восстанавливаются и передаются без потерь.

Аналоговая электроника.

В аналоговой электронике расчёты используются для определения ширины полосы пропускания фильтров. Это помогает избежать искажений при обработке данных.

Также теорема применяется в сотовой связи, электронной навигации, радиоастрономии, аудио- и видеотехнике, и электронике.

Слайд 15

Итак, мы выяснили, что как и множество процессов в природе, электрические сигналы, используемые во всей электронике и системах связи бывают аналоговые и дискретные. В цифровых системах необходимо переходить от аналоговых сигналов к дискретным, при этом переход должен быть корректным.

Наглядный пример номер раз. Давайте посмотрим на примере двух музыкальных фрагментов, что будет, если осуществлять дискретизацию сигнала некорректно

Слайд 16

Наглядный пример № 2. На рисунке ниже представлены 7 сигналов, каждый из которых соответствует своей музыкальной ноте – До, Ре, Ми, Фа, Соль, Ля, Си. Все они оцифрованы с частотой дискретизации 1700 Гц.

Надеюсь, с музыкальным слухом все в порядке и вы услышали, что с последними двумя прозвучавшими нотами что-то не так. Если не знать теорему Котельникова, то будет непонятно, почему звук при дискретизации исказился

Слайд 18

Представим себе, что мы работники Animal Planet и хотим изучить траекторию движения в джунглях какой-нибудь редкой змейки из красной книги

Слайд 19

С целью исследования мест обитания змеи и ее повадок цепляем к ее хвосту GPS-датчик, который будет регистрировать ее местоположение в отдельные моменты времени.

Слайд 20

Вопрос: как надо запрограммировать датчик, чтобы мы получили точную траекторию движения змейки, т.е. получили самый подробный график траектории движения юркой змейки со всеми ее виляниями и изгибами? Через сколько миллисекунд или секунд датчику необходимо будет записывать и посылать нам очередную координату положения в пространстве?

Слайд 21

Допустим, наша змея Зигзагусс ползет гармонично – ее хвост совершает гармонические колебания и ее движения можно описать синусоидальными функциями. Траектория движения представляет собой колебания с различными частотами. Так вот, по правилам теоремы о дискретизации, чтобы восстановить всю траекторию движения змейки, необходимо найти составляющую колебаний самой высокой частоты.

Слайд 22

Если по дискретным точкам мы сможем восстановить составляющую колебаний самой высокой частоты, то мы сможем восстановить всю траекторию змейки. Определим периоды всех колебаний

(см. рисунок ниже).

Слайд 23

Как видно из рисунка, наименьшим периодом колебаний является период . Следовательно, необходимо подобрать частоту выборки дискретных точек именно для колебания с периодом , тогда и все остальные колебания мы сможем потом восстановить. Другими словами, в соответствии с теоремой о дискретизации (см. формулировку здесь) можно полностью восстановить данную синусоидальную функцию, если брать дискретные точки через интервал времени вдвое меньший длительности периода . Это означает, что необходимо брать точки с таким интервалом, чтобы на период колебания самой высокой частоты приходилось не менее 2-х точек. В этом случае можно будет с высокой точностью восстановить всю непрерывную траекторию движения исследуемой змеи.

Слайд 24

Предположим теперь, что Зигзагусс опьянилась запахом одурманивающего цветка и стала ползти негармонично, несуразно.

Слайд 25

В этом случае для определения периода дискретизации нам необходимо самим отыскать гармонию в данной кривой функции, а она есть внутри любого сигнала всегда, что пытался в свое время доказать всем людям французский математик Жан-Батист Фурье. Также как любое тело можно разложить на множество атомов, также и полученную сложную функцию (от траектории змеи), можно разложить на множество гармонических функций.

Сигнал состоит из двух гармонических функций (синус и косинус) с частотой 1000 Гц и одного синуса с частотой 2000 Гц (2000 Гц означает, что гармоника совершает 2 тысячи колебаний в секунду). В соответствии с условием теоремы Котельникова, о котором мы уже ранее говорили, для такого сигнала временной интервал между дискретными точками необходимо брать таким, чтобы он был меньше половины периода самой высокой частоты. В нашем случае имеется гармоника с максимальной частотой 2 тысячи колебаний в секунду (2000 Гц), значит период сигнала равен 1/2000 = 0.005 секунд и значит период между дискретными точками должен быть менее, чем 0.005/2 = 0.0025 секунды.

Слайд 26

Чтобы определить требуемый период между дискретными точками для траектории нашей змейки, необходимо определить из каких гармонических функций она состоит, а точнее нас интересует значение частоты наивысшей гармонической функции (т.е. фиолетовой на рисунке).

Делим период фиолетовой гармоники пополам, и получаем граничное значение для периода дискретизации функции траектории одурманенной змеи.

Все, задача решена, можно произвести дискретизацию данного сложного сигнала.

Слайд 27

Теперь, когда мы знаем теорему Котельникова, давайте еще раз рассмотрим задачу правильного перехода от аналоговых 7 сигналов- музыкальных нот к дискретным. Итак, у нас есть семь гармонических колебаний, с частотами

Для правильной дискретизации, чтобы не было искажений, необходимо взять частоту дискретизации не менее в два раза больше максимальной частоты сигнала. Ранее мы брали частоту 1700 Гц, но как можно посчитать, такая частота подходит для сигналов нот До – Соль (для ноты Соль требуется частота дискретизации 784*2=1568 Гц), а вот для сигналов нот Ля и Си значение 1700 Гц уже не годится.

Слайд 28

Как видно из рисунка из-за несоблюдения условий теоремы Котельникова для сигналов Ля и Си с частотами 880 Гц и 988 Гц, через получившиеся дискретные отсчёты можно провести другие гармонические сигналы (красные функции), частоты которых меньше 1700 Гц / 2 = 850 Гц. Произошел эффект, который называют наложение спектров (в англоязычной литературе – aliasing). В рамках данной статьи "для чайников" мы не будем подробно рассматривать этот эффект, поскольку здесь уже требуются знания спектрального анализа сигналов. Этот эффект интересен тем, что объясняет условия теоремы Котельникова с позиций представления сигналов в частотной области (см. рисунок ниже). Если разобраться в этом, то теорема Котельникова и принципы восстановления сигналов станут более понятными. Описание этого эффекта можно найти почти в каждой книге по цифровой обработке сигналов.