пример метода Ван-дер-Поля (1)
.pdf
где и – действительные параметры. Определить радиус предельного цикла и поправку на значение частоты.
3.2.Ответы и указания
1. |
Состояния равновесия: |
= 0, = |
|
2 |
. |
|
|
||||
|
1 |
2 |
√− 2 |
||
2 существует только при 2 < 0. 1 – неустойчивое СР. 2 – устойчивое СР, если существует. Тип бифуркации: рождение из бесконечности (и исчезновение в бесконечности) предельного цикла. При 2 < 0 система автоколебательна.
2. |
СР: 1 = 0, |
{ |
< 1, |
1 − устойчивое СР |
; |
|||||
> 1, |
1 − неустойчивое СР |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
> 1, |
2 − устойчивое СР |
|
||
|
2 |
|
−1 |
|
|
|||||
= |
√ |
. { |
< 0, − неустойчивое СР . |
|||||||
|
|
|
||||||||
2 |
√3 |
|
|
|
2 |
|
||||
|
0 |
< < 1, |
2 − СР не существует |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
Бифуркационные параметры: = 0 и = 1 ( = 1 – бифуркация Андронова).
3.Решение аналогично задаче 2 из раздела «Примеры решения задач».
4.Замена: н = , н = ; ̈+ = н [( 2 − 2) ̇− 3].
Состояния равновесия: 1 = 0, 2 = 2| |.
1 – неустойчивое СР ≠ 0. 2 – устойчивое СР ≠ 0.
Ψ( 2) = 32 2. Если ≠ 0, то в системе устанавливаются автоколебания с амплитудой 2 = 2| | и периодом = 2 , где = 1 + нΨ( 2).
Если = 0, то 1 = 2 = 0 и метод Ван-дер-Поля не дает периодических колебаний. Следовательно, = 0 – бифуркационное значение.
5.Состояния равновесия: 1 = 0, 2 = 2√ [ припри >0<0 ,
|
при > 0 СР 1 неустойчиво |
при > 0 СР 2 устойчиво |
|||||
[ |
при < 0 СР 1 устойчиво |
|
, [при < 0 СР 2 неустойчиво . |
||||
6. |
Состояния равновесия: |
= 0, = |
|
2 |
. |
– неустойчивое СР. |
|
|
|
||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
√− 2 |
|
||
–устойчивое СР. По условию задачи 2 < 0, следовательно, бифуркаций нет.
7.Состояние равновесия: 1 = 0. Остальные состояния равновесия
находятся из уравнения: −2 1 + 38 2 − 165 4 = 0 (действительных положительных корней данного уравнения не более двух).
21
( 2) = − |
|
8 |
. |
Φ′( ) = |
−1 |
+ |
9 |
2 |
− |
25 |
4 |
|||||
5 4−6 2−8 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
8 |
16 |
|||||||
( 2) = |
|
|
|
8 |
|
. Бифуркационные значения параметра : = 0, |
||||||||||
|
−25 4+18 2+8 |
|||||||||||||||
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
, |
= 1. Жесткий режим возбуждения автоколебаний. Член |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ничего не изменит.
8.Согласно методу Ван-дер-Поля, частота периодических колебаний
равна: = 1 + |
|
, |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
) |
= − |
1 |
2 |
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
= Ψ( , Ψ( |
|
|
|
|
cos cos . |
|||||||||||||||||||||||||||||
При < 1 |
|
Ψ( ) ≡ 0, так как ( cos ) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
При ≥ 1 |
|
Ψ( ) = − |
1 |
( |
+ sin cos |
− 2sin ). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cos |
|
= 1, cos = |
|
1 |
, |
|
|
sin |
|
= √1 − |
1 |
, |
|
|
|
|
= arccos |
( |
1 |
). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С учетом приведенных выше формул Ψ( ) можно записать в следующем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ψ( ) = − |
1 |
|
|
( − sin ) = − |
1 |
|
( arccos ( |
1 |
) − √1 − |
1 |
) . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
− |
|
1 |
|
( arccos ( |
1 |
) − √1 − |
1 |
|
) |
при ≥ 1, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 при < 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Для |
того, |
чтобы |
|
|
узнать, |
|
есть |
|
ли |
|
автоколебания, |
вычислим |
|||||||||||||||||||||||||
Φ( ) и Φ′( ): Φ( ) = 0, Φ′( ) = 0. |
Так как Φ′( ) = 0, то автоколебаний не су- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ществует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Состояние равновесия 1 = 0 устойчиво при > 0, неустойчиво
|
|
√1+ |
5 |
−1 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
при < 0. |
Состояние равновесия 2 = |
2 |
|
|
существует и неустойчиво при |
|||
|
5 |
|
||||||
|
|
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
> 0.
10.Состояние равновесия 1 = 0 устойчиво при > 0, неустойчиво
при < 0. Состояние равновесия 2 = √− 43 существует при < 0. Неустой-
чиво при > 0, устойчиво при < 0.
11.Состояние равновесия 1 = 0 неустойчиво, 2 = 2 - устойчиво.
12.Состояние равновесия 1 = 0 устойчиво, 2 = 2√33 - неустойчиво.
13.Состояние равновесия = 2 устойчиво. Таким образом, существует единственный устойчивый ПЦ и, соответственно, автоколебания с ампли-
тудой 2 .
14.Решение аналогично решению задачи 2.
15.См. [4, стр. 402-404].
22
16.= 2√33. Ω1 = 0.
17.= √43 . Ω1 = 0. Так как > 0 и > 0, предельный цикл радиуса
= √43 всегда существует.
18.= √− 43 . Ω1 = 0. ПЦ существует при условии: < 0.
19.= 4 8. Ω = 0.
√1
20.= 2| |. Ω1 = 34 2 . Поправка на частоту порядка : = 3 2 .
Список литературы
1.Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин, С. Э. Теория колебаний. Второе издание, переработанное и дополненное Н. А. Железцовым. - М.: Физматлит,
1959. – 915 с.
2.Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. – 408 с.
3.Вибрации в технике. Справочник. Т.2. Колебания нелинейных механических систем. М.: Машиностроение, 1979. – 351 с.
4.Горяченко В. Д. Элементы теории колебаний. – Красноярск: изд-во Красноярского ун-та, 1995. – 429 с.
5.Мандельштам Л. И., Папалекси Н. Д. Об обосновании одного метода приближенного решения дифференциальных уравнений. Журнал экспериментальной и теоретической физики, IV, 1934. – 117 с.
6.Матросов В.В. Вынужденная синхронизация: Учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: изд-во Нижегородского госуниверситета, 2013. –
41 с.
7.Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. – Киев: Наукова думка, 1971. – 440 с.
8.Некоркин, В. И. Лекции по основам теории колебаний: Учебное пособие. – Нижний Новгород: изд-во Нижегородского госуниверситета, 2012. – 311с.
9.Шалфеев В.Д., Матросов В.В. Нелинейная динамика систем фазовой синхронизации: Монография. – Нижний Новгород: изд-во Нижегородского госуниверситета, 2013. – 366 с.
10.Vladimir I. Nekorkin. Introduction to Nonlinear Oscillations. WILEY – VCH HIGHER EDUCATION Press, 2015.
23
24
Александр Леонидович Пригоровский Владимир Михайлович Сандалов Екатерина Сергеевна Москова
ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ, УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
И КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Часть 4. Метод Ван-дер-Поля. Метод Пуанкаре.
Учебно-методическое пособие
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского».
603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.