Лекция 2

Теорема 3 (Ляпунова).

Если все собственные значения линеаризованной системы λ имеют отрицательную действительную часть, Re λ<0, тогда состояния равновесия обеих дифференциальных систем – линеаризованной и нелинейной,

асимптотически устойчивы;

если хотя бы одно собственное значение линеаризованной системы имеет положительную действительную часть, Re λ>0, тогда состояния равновесия обеих систем неустойчивы;

если среди собственных значений линеаризованной системы имеется значение с нулевой действительной частью, Re λ=0, то система первого приближения не дает ответа на вопрос об устойчивости состояния равновесия нелинейной системы – в разложении ее правых частей необходимо рассматривать члены более высокого порядка малости.

Классификация стационарных точек линейных систем на фазовой плоскости

Особая точка (неподвижная точка, стационарная точка, точка покоя, положение равновесия) системы дифференциальных уравнений (1) – это особая точка

соответствующего векторного поля ҧ .

(ҧ)

Определение 7. Особой точкой векторного поля называется точка фазового пространства, в которой вектор поля обращается в нуль.

г) λ1,2 = α ± iβ — комплексно сопряженные (α ≠ 0). Фазовый портрет — фокус.

Исследование устойчивости в малом систем 3-го порядка ( n = 3) приводит к кубическому характеристическому уравнению линеаризованной системы:

Как и в случае двумерной системы, тип особой точки определяется положением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости.

В трехмерном вещественном пространстве существуют более сложные особые точки, являющиеся комбинациями седла с узлом или фокусом и называемые соответственно, седло-узлом и седло-фокусом (смотри рис.. на след. слайдах)

Седло-узел и седло-фокус всегда неустойчивы. Они имеют одномерное устойчивое и двумерное неустойчивое многообразия (или наоборот).

В окрестностях таких особых точек возможно существование сложной нерегулярной динамики.

Особая точка типа седло-узел

Особая точка типа седло-фокус

Система первого приближения (линеаризованная система)

Пусть ҧ= (ҧ)

При исследовании характерных особенностей нелинейных систем вблизи точки покоя возможен общий аналитический подход. Этот подход состоит в отыскании для исследуемой нелинейной системы некоторой близкой линейной.

Некоторые вспомогательные определения:

1.Если ≠ 0, то линейная система называется простой.

2.Гомеоморфизмом одной фазовой плоскости на другую называется непрерывное взаимно-однозначное отображение такое, что обратное отображение тоже непрерывно.

3.Две системы ДУ, имеющие один и тот же тип неподвижных точек, имеют фазовые портреты гомеоморфные друг другу (ориентации траекторий при этом не меняются). Такие системы называются качественно эквивалентными.

Теорема о линеаризации:

Неподвижная точка ҧ= 0 для системы ҧ= (ҧ) называется простой, если линеаризованная система в окрестности данной точки является простой.

Это значит:

ҧ= ҧ- линейная система ↔ ≠ 0. Если ҧ= 0 – простая неподвижная точка, то в окрестности этой точки исходная система и ее линеаризация имеют качественно эквивалентные фазовые портреты.

Характер особых точек линеаризованной системы и исходной нелинейной системы совпадает, кроме следующих случаев:

если особая точка линеаризованной системы – центр, то особая точка исходной нелинейной системы либо центр, либо фокус;

если хотя бы один из корней линеаризованной системы равен нулю, то для анализа особой точки нелинейной системы требуется дополнительное исследование.