Лекция 1
..pdf
Нелинейный осциллятор с трением. Фазовый портрет.
Затухающие колебания
Особенности консервативных систем: |
|
В диссипативных системах: |
не существует притягивающих |
|
могут существовать |
множеств. |
|
притягивающие множества |
если имеется периодическое |
|
типа устойчивых положений |
движение, то таких движений |
|
равновесия. |
бесконечно много, они определяются |
|
для линейных динамических |
уровнем энергии в начальный момент, |
|
систем стационарные |
энергия E сохраняется постоянной. |
|
незатухающие колебания не |
|
|
характерны. |
|
|
|
В нелинейных диссипативных системах возможно существование периодического асимптотически устойчивого движения (автоколебания), его математический образ в фазовом пространстве – замкнутая линия (предельный цикл).
5. Автоколебания. Генератор Ван дер Поля
параметр возбуждения
Фазовый портрет
Установление автоколебаний
Аналитически получить решение не удается.
Электрическая схема генерации автоколебаний
6. Дискретные эволюционные модели. Разностные уравнения
|
= |
, |
|
0 |
= |
+1 |
|
|
|
|
+1 =
Отображение Пуанкаре |
x |
|
= |
x |
|
|
|
|
вместо анализа фазового потока в пространстве RN рассматриваются точки пересечения фазовой траектории с некоторой N – мерной плоскостью Λ или иной поверхностью.
процессе эволюции динамической системы ф траектория будет "прокалывать" выбранну плоскость Пуанкаре и формировать серию точе "проколов"
сечение Пуанкаре
7. Аттракторы и странные аттракторы
Аттра́ктор (англ. attract — привлекать, притягивать) — компактное подмножество фазового пространства ДС, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности.
Примеры аттракторов:
притягивающая неподвижная точка
(задаче о маятнике с трением о воздух;
периодическая траектория
(самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью);
некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри
(как у странного аттрактора).
При значении размерности фазового пространства N ≥ 3 возможен принципиально новый тип предельных фазовых траекторий, так называемые странные аттракторы, когда фазовая траектория не притягивается ни к точкам равновесия, ни к циклическим траекториям типа предельных циклов и в тоже время не покидает заданной области.
Странный аттрактор — это притягивающее множество неустойчивых траекторий в фазовом пространстве диссипативной динамической системы. В отличие от аттрактора, не является многообразием, то есть не является кривой или поверхностью.
Странному аттрактору соответствует сложное апериодическое движение, схожее с хаотическим процессом.
О таком поведении ДС говорят как о детерминированном или динамическом хаосе.
Закон эволюции ДС тождественно связан с
предсказуемостью поведения системы и
выражает
Принцип детерминизма,
нерегулярное поведение ДС, описываемых детерминированными уравнениями.
развитый и реализованный в рамках классической и в особенности небесной механики.
философская концепция о взаимосвязи и взаимной определённости всех явлений и процессов (всеобщая причинность).
Разрушение предельного цикла
ПЕРЕХОД К ХАОСУ
Стохастические автоколебания |
Фазовый портрет В=10, μ=0 |