Лекция 1
..pdf
Примеры динамических систем:
1) система материальных точек, 2) химическая реакция, 3) взаимодействие популяций, 4) экономические и социальные процессы,
5) вычислительные процессы, происходящие в компьютерах и нейронных сетях.
Классификация динамических систем:
|
|
|
|
|
1. По виду оператора эволюции |
: |
|
2. По виду множества моментов времени T: |
|
|
0 |
|
|
o ДС с непрерывным временем (потоки) |
▪ |
Линейные |
|
|
|
|
|
|
o ДС с дискретным временем (каскады) |
|
▪ |
Нелинейные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. По возможности указания значений параметров системы:
•детерминированные
•стохастические
Уровни дискретизации и типы динамических систем: 1) Непрерывное пространство, непрер. время, непрер. наблюдения
пример: поле температуры T , ДС: уравнения в частных производных
2) Дискретное пространство, непрерывное время, непрер. наблюдения пример: температура в данной точке T
ДС: обыкновенные дифференциальные уравнения
3) Дискретное пространство, дискретное время, непрер. наблюдения пример: температура в точке в полдень 1 сентября n-ого года
ДС: отображения (рекуррентная последовательность) +1 =
4)Дискретное пространство, дискр. время, дискр. Наблюдаемые ДС: символьная динамика: ABBABABBCBA…
Фазовое пространство: множество всех значений всех динамических переменных (определяется из задачи).
N переменных → N-мерное фазовое пространство
Фазовая траектория – интегральная кривая в фазовом пространстве – множество точек фазового пространства, соответствующих эволюции одного исходного набора переменных.
Фазовые траектории не пересекаются!!!
(из курса ОДУ теоремы о существовании и единственности)
Фазовый портрет – множество фазовых траекторий, соответствующих различным начальным условиям.
фазовый портрет определен, если обозначены особые точки системы (положения равновесия) и представлены типичные фазовые траектории.
Два класса динамических систем:
Консервативные системы обладают инвариантами
(классический пример: энергия механических систем в отсутствие трения). Консервативность ДС – сохранение энергии
Диссипативные системы если предоставить ДС самой себе то устанавливающийся в ней режим (асимптотически) теряет зависимость от начального состояния
Множествам (положительной меры) начальных состояний соответствуют одни и те же финальные режимы.
2. ДС, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями
Векторное поле скоростей (поле скоростей)
3. Консервативные системы
Гармонический осциллятор
Уравнение свободных колебаний. Первый интеграл (интеграл энергии)
характеризует постоянство с течением времени полной энергии осциллятора E
кинетическая
потенциальная
Гармонические колебания
Определив первый интеграл ДС (интеграл энергии), можно
построить фазовый потрет системы без решения дифференциального уравнения!
E(x,p)=const