Лекция 3
..pdf
Для построения фазовых портретов перейдем в полярную систему координат и получим
решаем эту систему аналитически, возвращаемся в декартовы координаты
= −2 |
= 0 |
= 1 |
Система имеет одно положение равновесия (0; 0), которое является устойчивым фокусом, если ≤ 0. Система имеет одно положение равновесия P0; 0), которое является неустойчивым фокусом, и устойчивый предельный цикл, если > 0.
Фазовые портреты динамической системы
При переходе через бифуркационное значение параметра α=0 фазовый портрет претерпевает кардинальные изменения.
Анализ по первому приближению давал неустойчивый фокус, а фазовый портрет
показывает наличие предельного цикла.
Именно такое поведение фазовых траекторий при изменении бифуркационного параметра указывает на наличие бифуркации рождения предельного цикла
(бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа).
Теорема.
|
|
ҧ |
|
|
|
2 |
и |
ҧ= 0 – стационарная точка. |
|
Пусть имеется ҧ= (ҧ, ), где |
|
||||||||
Пусть = 0 |
|
= |
± : |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= 0, |
|
0 |
> 0, |
0 > 0. |
|||
|
|
||||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, если x = 0 – асимптотически устойчивая стационарная точка, то − т.
бифуркации типа Андронова-Хопфа.
Существуют и другие типы бифуркаций, ознакомиться с ними можно, например, в В.С. Анищенко, Т.Е. Вадивасова. Лекции по нелинейной динамике: учеб. пособие для студ. вузов, 2010 г.
«Мягкие» и «жесткие» бифуркации. Катастрофы.
В результате бифуркации исходное стационарное состояние теряет устойчивость и рождаются два новых устойчивых стационарных состояния (рис. а) и б)). При этом появившиеся два стационарных состояния (рис. в) расположены в непосредственной близости от исходного состояния, которое потеряло устойчивость (звездочка).
Бифуркации такого типа называются «мягкими».
(а) |
(б) |
(в) |
Пример «мягкой» бифуркации. Стационарное состояние (а) теряет устойчивость (б) и вблизи него рождаются два новых устойчивых стационарных состояния (в).
При значении параметра меньше бифуркационного (рис. а) шарик находится в устойчивом стационарном состоянии. При этом существует еще одно, неустойчивое состояние (звездочка). В точке бифуркации устойчивое и неустойчивое состояния сливаются в одно. Далее они исчезают и система выбирает новый режим (как показано на рис. в), который существенно отличается от предыдущего и не находится в непосредственной близости от исходного. Такой тип бифуркаций называется «жестким».
(а) |
(б) |
(в) |
«Жесткая» потеря устойчивости стационарного состояния, катастрофа.
Теория катастроф — раздел математики, который является дальнейшим развитием теории устойчивости и бифуркаций, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (ДС) и теорию особенностей гладких отображений.
Термины «катастрофа» и «теория катастроф» были введены Рене Томом и Кристофером Зиманом в к. 1960-х – начале 1970-х гг. («катастрофа» – резкое качественное изменение объекта при плавном количественном изменении параметров, от которых он зависит).
Эволюция любых систем при изменении параметров сопровождается потерей устойчивости одними режимами функционирования и бифуркационными переходами их в новые.
Эти «фазовые» переходы могут осуществляться мягко и плавно, а могут происходить скачкообразно, в виде катастроф. Строгий математический анализ устойчивости и бифуркаций сегодня рассматривает широкий спектр проблем, связанных с исследованиеями бифуркационных переходов в различных динамических системах, например, переход системы от регулярного поведения к хаотической динамике.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ