Лекция 3
..pdf
Фазовый портрет имеет вид:
Выводы:
Исходная система имеет неустойчивое положение равновесия в т.(0,0), которое является фокусом.
Исходная система имеет устойчивый предельный цикл.
Структурная устойчивость динамических систем.
|
ҧ |
1, … , |
|
|
|
. |
Будем рассматривать ҧ= (ҧ, ), где = |
|
|
||||
Определение.
|
ҧ |
ДС ҧ= (ҧ, 0), то т. |
|
|
ҧ |
Если ДС ҧ= (ҧ, ) при (0) качественно эквивалентна |
|
0 – точка структурной устойчивости ДС. |
|
// т.е. изменение 0 внутри (0) незначительно влияет на систему.
Множество всех точек структурной устойчивости образует область структурной устойчивости динамической системы.
Определение. Точка 0, в которой нарушается структурная устойчивость ДС, называется точкой бифуркации.
Основные типы точек бифуркации в двумерных динамических системах
1. «Седло-узел» (седло-узловая бифуркация)
Пусть задана динамическая система с бифуркационным параметром α.
Определим стационарные точки. Возможны следующие случаи:
Разберем поведение стационарных точек с точки зрения устойчивости. Для этого составим якобиан системы и найдем собственные значения матриц коэффициентов, соответствующих найденным стационарны точкам
Неустойчивая седловая точка 2 − ; 0
(репеллер),
Фазовые портреты динамической системы
Устойчивая узловая точка 1 ; 0 (аттрактор),
= 0 –
точка
бифуркаци
и
α = -2 |
α = 1 |
α = 0
2. Транскритическая бифуркация («обмен устойчивостью)
Пусть задана динамическая система с бифуркационным параметром α.
Стационарные точки:
Разберем поведение стационарных точек с точки зрения устойчивости.
Красная точка – репеллер, зеленая – аттрактор.
При прохождении бифуркационного параметра α через нулевое значение, произошел обмен устойчивостью между стационарными точками. Нулевая равновесная точка была асимптотически устойчивой, а при переходе через нулевое значение бифуркационного параметра, стала неустойчивой. Значит, α=0 – точка бифуркации.
2. Вилообразная бифуркация («вилка»). Сверхкритический случай.
Пусть задана динамическая система с бифуркационным параметром α.
Стационарные точки:
Разберем поведение стационарных точек с точки зрения устойчивости.
Красная точка – репеллер, зеленая – аттрактор.
При прохождении бифуркационного параметра α через нулевое значение, единственная асимптотически устойчивая стационарная точка теряет устойчивость (становится неустойчивой), в результате чего, рождается пара асимптотически устойчивых узлов. Значение α=0 – точка бифуркации.
3. Рождение предельного цикла. Бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа.
Рассмотрим сверхкритический случай, т.е. мягкое возбуждение автоколебаний. Пусть задана динамическая система с бифуркационным параметром α.
Стационарная точка – (0;0) при любых α .
Якобиан системы: