Лекция 3
..pdf
Прикладные задачи нелинейной динамики
Сидоров Станислав Михайлович, Кандидат технических наук, Доцент кафедры прикладной математики
E-mail: xaevec@mail.ru
2024-2025 гг.
ЛЕКЦИЯ 3
Предельные циклы. Структурная устойчивость динамических систем. Основные типы точек бифуркации двумерных динамических систем. «Мягкие» и «жесткие» бифуркации. Катастрофы.
Предельные циклы.
|
(1) |
ҧ= (ҧ) |
На фазовой плоскости периодическим решениям автономной системы (1) соответствуют замкнутые траектории – циклы.
Предельным циклом называется замкнутая фазовая траектория автономной системы, которая изолирована от других замкнутых фазовых траекторий.
т.е. трубчатая окрестность, которая не содержит замкнутых (периодических) траекторий.
Такими решениями обычно описываются незатухающие периодические процессы. Это характерно только для нелинейных систем.
Следует отметить, что в случае центра замкнутые траектории не являются периодическим циклом, т.к. это семейство окружностей, заполняющих всю плоскость.
три типа предельных циклов:
устойчивый (притягивающий) – аттрактор,
неустойчивым (отталкивающий) – репеллер,
полуустойчивым (с одной стороны притягивает, с другой отталкивает).
Предельный цикл называется устойчивым, если существует такая область (ε- окрестность) на фазовой плоскости, содержащая этот предельный цикл, что все фазовые траектории, начинающиеся в ε-окрестности, асимптотически при t→+∞ приближаются к предельному циклу.
Предельный цикл называется неустойчивым, если в сколь угодно малой ε- окрестности предельного цикла существует по крайней мере одна фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при t→+∞.
Для нахождения предельных циклов не существует таких простых аналитических методов, как для нахождения стационарных точек и исследования их устойчивости. Однако, исследование фазовой плоскости системы позволяет ответить на вопрос, есть в данной системе предельный цикл или нет.
Пример.
Попробуем решить:
Попробуем линейное приближение:
В системе ! нулевая стационарная точка (0;0). Для нее линеаризуем систему, считаем якобиан системы и вычисляем собственные значения якобиана. Получаем λ1,2 = 0.
Следовательно, по Теореме 3 (см. прошлую лекцию)
система первого приближения не дает ответа на вопрос об устойчивости.
Упростим исходную систему, перейдя в ней к полярным координатам и подставим их в систему:
а) |
б) |
а) устойчивый |
б) неустойчивый |
предельный цикл |
предельный цикл |
Некоторые критерии отсутствия замкнутых фазовых траекторий (в том числе предельных циклов):
1. Если в системе не существует особых точек, то в ней не может быть замкнутых траекторий.
2. Если в системе существует одна особая точка, отличная от узла, фокуса и центра (например, седло), то такая система не допускает замкнутых фазовых траекторий.
3. Если в системе имеются только простые особые точки, причем через все точки типа узел и фокус проходят интегральные кривые, уходящие на бесконечность, то в такой системе нет замкнутых фазовых траекторий.
Теорема Бендиксона об отсутствии замкнутых траекторий. (условие отсутствия предельных циклов в односвязной области).
|
|
Теорема Бендиксона. Пусть имеется автономная система |
|
ҧ |
2 |
, |
||||
|
|
ҧ= ҧ, ҧ |
|
|||||||
|
2 |
ҧ |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
– односвязная область и известно, что div = |
|
+ |
|
– постоянного знака в |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
области . Тогда в отсутствуют замкнутые траектории (целиком лежащие в ).
Односвязная область (плоская): для любой замкнутой непрерывной кривой, принадлежащей области, часть плоскости, ограниченная этой кривой, принадлежит области.
Пусть ҧ= ҧ ҧ, ҧ = (0) – фазовый поток.
Определение. Область 2 называется положительно инвариантным множеством для автономной системы ҧ= ҧ ҧ, если из 0 0 , > 0.
// т.е. если в начальный момент времени траектория попала в область , то во все последующие моменты она не выходит из .
Теорема Пуанкаре-Бендиксона. (условие периодической траектории)
Пусть 2 – замкнутое ограниченное множество, положительно инвариантное для автономной системы ҧ= ҧ ҧи не содержащее стационарных точек этой системы, тогда в имеется по крайней мере одна периодическая траектория.
// если фазовые траектории входят в , то обязательно внутри предельный цикл.
Утверждение 1. Пусть на фазовой плоскости существует область, из которой фазовые траектории не выходят и в которой нет положений равновесия. Тогда в этой области обязательно существует предельный цикл, причем остальные траектории обязательно наматываются на него.
Утверждение 2. Если существует на фазовой плоскости некоторая замкнутая область, такая, что все фазовые траектории, пересекающие границу этой области, входят в нее, и внутри этой области находится неустойчивая точка покоя, то в этой области обязательно имеется хотя бы один предельный цикл.
Пример. Исследовать на устойчивость положения равновесия следующей системы (x, y ):
В системе ! нулевая стационарная точка (0;0).
Так как собственные значения матрицы системы являются чисто мнимыми λ1,2 = ± i, то точка (0;0) является либо центром, либо фокусом.
Применим теорему Бендиксона:
система не имеет замкнутых траекторий.
Следовательно, имеем фокус!
Сложив первое равнение системы, умноженное на x, со вторым, умноженным на y, получим
то движение по фазовой траектории направлено к началу координат.
устойчивый фокус
Пример. Исследовать на устойчивость положения равновесия следующей системы (x, y ). Выяснить, имеет ли система предельный цикл.
Перейдем к полярным координатам:
= ,= .
Получим:
Первому соответствует положение равновесия (0,0) исходной системы. Второму – замкнутая траектория (окружность радиуса 1 с центром в начале координат), т.е. предельный цикл исходной системы.