Лекция 6
..pdf
Уравнение для ε1 перепишем в виде:
две из 4 констант можно выбрать произвольным образом.
общее решение неоднородного уравнения
аналитического решения нет
Но есть малый параметр
Выполним разложение амплитуды a и фазы φ по параметру ε:
В результате получаем линейное разложение решения по малому параметру:
Сравнение решения, полученного методом малого параметра и методом Рунге-Кутты
Однако прямое разложение по степеням параметра нелинейности не всегда приводит к верному результату.
При рассмотрении более высоких поправок к решению (порядка ε2) метод разложения по параметру не может учесть эффект неизохронности возникающих колебаний. Причина состоит в способе представления решения: в решении могут появиться только частоты, кратные частоте линейных колебаний системы. Для учета неизохронности колебаний необходима модификация метода.
Неизохронность колебаний — это свойство многих нелинейных колебательных систем, при котором период колебаний зависит от амплитуды.
Метод Линштедта-Пуанкаре
Подставим полученные разложения x(t) и ω(t) в уравнение и получим:
Выделенные слагаемые − секулярные, они приводят к резонансному решению. Для того чтобы избежать секулярного роста, положим
решение исходного уравнения с точностью до членов порядка ε2
Сравнение решений уравнения Дуффинга методами ЛинштедтаПуанкаре и Рунге-Кутты, ε=0,25
В отличие от осциллятора с квадратичной нелинейностью в спектре осциллятора Дуффинга в первую очередь появляется не вторая, а третья гармоника. Если продолжать разложение далее, то можно убедиться, что спектр будет содержать только нечетные гармоники, что является следствием симметрии уравнения Дуффинга относительно замены x → −x.
Сравнение практических возможностей метода Ван дер Поля и метода Пуанкаре:
1. Метод медленно меняющихся амплитуд (метод Ван дер Поля) используется
для приближенного исследования динамики амплитуды колебаний слабо нелинейных
систем.
2. Метод медленно меняющихся амплитуд позволяет ускорить поиск решения
дифференциальных уравнений колебательной системы.