Лекция 6
..pdf
a и φ удовлетворяют системе вида
с периодически зависящими от параметра t функциями A и Φ.
Метод переменной фазы и амплитуды, переход к переменным Ван дер Поля, введение полярной системы координат дают один тот же результат.
Пример. Применения метода Ван-дер-Поля
уравнение Ван-дер-Поля:
динамика осциллятора с нелинейной силой трения
Перейдем в полярную
систему координат
Система уравнений:
слагаемые, содержащие тригонометрические составляющие, обнуляются
неизвестная функция –
усредненный за период радиус
фаза играет роль аргумента процесса и пропорциональна времени, поэтому возможно ограничиться анализом только первого уравнения
Анализ укороченного уравнения
Для положительных значений μ>0:
в начале координат r1=0 неустойчивая точка покоя, неустойчивый фокус;
r2=2b соответствует устойчивому предельному циклу.
φ0 – начальная фаза
уравнения Ван дер Поля:
Полученные численные результаты (методом медленно изменяющихся амплитуд и методом Рунге-Кутты) практически не различимы.
Листинг программы MathCad построения решений уравнения Ван дер Поля методом медленно меняющихся амплитуд и методом Рунге-Кутты.
Основным ограничением принципа усреднения является требование наличия среднего значения правой части дифференциального уравнения по t:
Эргодичность − свойство динамических систем, оно состоит в том, что почти каждое состояние системы с определённой вероятностью проходит вблизи любого другого состояния системы.
Иначе говоря, точка движущейся системы посетит все части пространства, в котором движется система.
Для эргодических систем МО по временным рядам должно совпадать с МО по пространственным рядам. Поэтому для определения параметров системы можно долго наблюдать за поведением одного её элемента или за очень короткое время рассмотреть достаточно много элементов. Если система обладает свойством эргодичности, то в обоих случаях получаются одинаковые результаты.
2. Асимптотические методы.
Эффективным средством исследования нелинейных динамических систем являются методы асимптотических разложений по степеням малого параметра.
Метод малого параметра.
гармонический осциллятор