Лекция 6
..pdf
Прикладные задачи нелинейной динамики
Сидоров Станислав Михайлович, Кандидат технических наук, Доцент кафедры прикладной математики
E-mail: xaevec@mail.ru
2024-2025 гг.
ЛЕКЦИЯ 6 Приближенные методы исследования
нелинейных динамических систем:
1.Методы усреднения:
медленно меняющихся амплитуд или метод Ван дер Поля.
2.Теорема об усреднении. Эргодические системы
3.Асимптотические методы:
метод разложения по малому параметру,
метод Линштедта Пуанкаре.
4.Сравнение методов различных групп.
1. Методы усреднения.
Основное содержание группы методов усреднения.
Суть принципа усреднения заключается в замене правых частей дифференциальных уравнений, содержащих "колеблющиеся" члены, усредненными "автономными" функциями, не содержащими явно времени t.
Принцип усреднения: замена сложных возмущающих членов в уравнении более простыми (автономными) и при этом учесть основной вклад, вносимый этими возмущениями на временах порядка 1/ε.
Пример: |
|
Рассмотрим уравнение |
|
x′=ε·(sin2t)·x |
(1) |
как малое возмущение уравнения |
|
x′=0, |
(2) |
ε – малый положительный параметр.
Пусть η(t) и ξ(t) – решения уравнений (1) и (2) соответственно, удовлетворяющие начальному условию
η(0)=ξ(0)=1.
Решения η(t) и ξ(t) возмущенного и невозмущенного уравнений близки при малых ε на любом фиксированном промежутке [0, T].
Тогда как на промежутке вида [0, T/ε] они не являются близкими.
Сравнение решений невозмущенного и возмущенного уравнений
Заменим возмущающий член ε(sin2t)x более простым "усредненным": вместо sin2t его средним за период значением:
sin2t =
получим усредненное уравнение:
более простое 
легко интегрируется
Траектория x(t)= exp(εt/2)
более точно, нежели ξ(t)=1, учитывает
специфику уравнения (1), и аппроксимируют решения η(t) уравнения (1) не только на любом фиксированном промежутке [0, T], но и на промежутках длины порядка 1/ε.
Рис. Усредненная по быстрым осцилляциям траектория x(t) показана пунктиром, ε=0,25.
Сохранять близость между решениями на большем по сравнению с простым отбрасыванием возмущающих членов промежутке.
Движение системы характеризуется двумя сильно различающимися масштабами: наблюдаются быстрые осцилляции и их медленный дрейф.
Для функции η0(t) быстрые осцилляции задает тригонометрическое слагаемое sin2t, тогда как медленным изменениям отвечает слагаемое,
пропорциональное экспоненте от времени t.
Для того чтобы получить первоначальное представление о поведении системы, достаточно знать ее поведение в целом, без мелкомасштабных временных подробностей. С этой целью эволюционные уравнения усредняют по «быстрому» времени и в результате получают новое описание системы,
учитывающее только ее осредненную эволюцию.
Метод Ван-дер-Поля (метод медленно меняющихся амплитуд или метод переменной фазы и амплитуды)
Используются укороченные уравнения Ван-дер-Поля.
Метод Ван-дер-Поля является адекватным методом исследования нелинейных систем:
учитывает специфику нелинейных систем, их характерные черты, т.к.
|
|
укороченные уравнения |
|
|
(как и исходные) являются |
разработка |
математическое обоснование |
нелинейными. |
|
Пример. Линейный осциллятор с возмущающей нелинейной силой εf: