Лекция 7
..pdf
Переход к безразмерным переменным позволяет сократить число параметров:
Представим дифференциальное уравнение (6) в нормальной форме, в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка:
Линейный анализ устойчивости системы (7) показывает наличие единственной особой точки x*=y*=0, которая при μ>1 (δ2>ω02) является неустойчивым узлом, а при 0<μ<1 (δ2< ω02) − неустойчивым фокусом. В нелинейной системе эти особые точки оказываются внутри замкнутой траектории – устойчивого предельного цикла.
Зависимость формы автоколебаний и предельного цикла от величины параметра
возбуждения μ
Листинг расчета автоколебаний в генераторе Ван дер Поля
С ростом значений параметра μ, при μ > 1, предельный цикл приобретает прямоугольную форму, что приводит к появлению двух различных масштабов времени:
вслед за медленным дрейфом происходит резкое изменение амплитуды.; динамика амплитуды становится похожа на "пилообразный" сигнал.
Подобная временная зависимость получила название релаксационных колебаний.
Релаксационные колебания
Изменение профиля предельного цикла в уравнении Ван дер Поля при варьировании параметра μ.
Для динамической системы с одной степенью свободы (с размерностью фазового пространства N=2) существует только три возможности:
1)совершать периодические движения;
2)неограниченно стремиться к положению равновесия или
3)неограниченно удаляться от положения равновесия.
Периодическая химическая реакция Б.П. Белоусова: модель «брюсселятор»
Цикл Кребса (1937) − ключевая реакция, лежащая в основе кислородного дыхания, энергоснабжения и роста клетки. Открытие Кребса было удостоено Нобелевской премии.
Вскоре возник вопрос о том, можно ли получить более простой аналог сложного цикла Кребса?
Что будет, если воздействовать на лимонную кислоту раствором бертолетовой соли и добавить в раствор ещё соли церия?
Борис Павлович Белоусов (1893–1970) − военный химик. В 1951 году открыл первую колебательную химическую реакцию, известную сейчас как реакция Белоусова − Жаботинского.
Белоусов Б. П. Периодически действующая реакция и её механизм.//В сборнике рефератов по радиационной медицине за 1958 г. − М: Медгиз, 1959 . − 145 c.
Научное открытие, № 174. Ленинская премия (1980) посмертно.
Суть:
Втрёхвалентном состоянии ионы церия бесцветны, а в четырёхвалентном − жёлтые. Это означает, что изменение валентности можно будет наблюдать своими глазами. Распад лимонной кислоты будет виден по выделению углекислого газа.
Врезультате исследования окисления лимонной кислоты броматом в присутствии катализатора, Б.П. Белоусов обнаружил концентрационные колебания реагентов – так была открыта колебательная реакция в химии.
Реакция Белоусова в чашке Петри
Реакция Белоусова в пробирке.
Фото с сайта de.wikipedia.org.
Спиральные волны в тонком слое возбудимой реакционной среды Белоусова-Жаботинсокго, размер ячейки 9 кв. мм.
(Muller, Plesser et al. 1986)
Первые математические модели реакций Белоусова были построены А.М. Жаботинским
А.М. Жаботинский
(1938-2008)
Восстановление ионов церия в присутствии |
Жаботинский А.М., |
|
Концентрационные колебания. – |
||
броммалоновой кислоты |
||
М.: Наука, 1974, 180 с. |
||
|