Лекция 7
..pdf
Прикладные задачи нелинейной динамики
Сидоров Станислав Михайлович, Кандидат технических наук, Доцент кафедры прикладной математики
E-mail: xaevec@mail.ru
2024-2025 гг.
ЛЕКЦИЯ 7 АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ:
Если ДС энергетически открыта и допускает обмен с окружающей средой энергией или веществом, то в ней возможно пополнение энергии. В таких ДС возможно возникновение автоколебаний.
Автоколебания – это незатухающие колебания, которые возникают в диссипативной динамической системе с нелинейной обратной связью, и поддерживаются за счет энергии постоянного внешнего воздействия (непериодического).
Автоколебательные
ДС
Вынужденные колебания:
вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия.
неконсервативные
ведут себя аналогично диссипативным
поступление «внешней» энергии регулируется самой системой
Автоколебания: амплитуда, частота, форма колебаний определяются
внутренними свойствами самой системы и не зависят от начальных условий.
Термин автоколебания ввел А.А. Андронов в 1928 г.
Примеры автоколебаний в природе и технике
часовой механизм
электрический звонок
энергия пружины или падающего груза передается через храповой механизм маятнику порциями, величина и время подачи которых определяется колебаниями самого маятника
При наличии в системе нескольких элементов, колеблющихся независимо друг от друга, и одновременно воздействующих на нелинейный регулятор или регуляторы (которых тоже может быть несколько), автоколебания могут принимать более сложный характер, например, апериодический, или динамический хаос.
Автоколебания возникают также
в движениях листьев растений под действием равномерного потока воздуха;
на перекатах и порогах рек при образовании турбулентных потоков;
при прохождении воздуха через голосовые связки людей, животных и птиц;
в духовых и струнно-смычковых музыкальных инструментах;
в генераторах электрических и электромагнитных колебаний, применяемых в электротехнике, радиотехнике и электронике;
в химических реакциях;
в биологических популяциях и др.
«… периодическое возникновение эпидемий, экономических кризисов и депрессий, дрожь от холода, биение сердца»
Автоколебания присущи |
|
различным системам. |
Ван дер Поль |
Нежелательные автоколебания |
возникают в результате неудачного |
выбора технических параметров систем
приводят
к авариям c тяжёлыми последствиями, особенно, когда речь идёт о системах, в которых циркулируют большие уровни энергии.
Например:
в турбинах электростанций;
в реактивных авиационных и ракетных двигателях;
в магистралях газов и жидкостей высокого давления;
явление флаттера различных элементов летательных аппаратов;
при воздействии ветра определённой скорости возникает ветровой резонанс, приводящий к автоколебаниям высотных сооружений и др.
Механизм автоколебаний
Характерным свойством автоколебательной системы является наличие в
ееконструктивной схеме следующих частей:
I. колебательная система, V;
II.источник энергии S (постоянного, непериодического воздействия), за счет которого поддерживаются автоколебания;
III.нелинейный регулятор R (устройство, регулирующее поступление энергии из источника в колебательную систему и преобразующее постоянное воздействие в переменное, которое и «раскачивает» колеблющийся элемент системы V);
IV. обратная связь B, с помощью которой осуществляется управление регулятором
R по фазе и частоте его действия (когда и сколько).
Механизм автоколебаний
Необходимые условия возбуждения автоколебаний:
1) энергия от источника должная поступать в такт с колебаниями в контуре;
2) поступающая от источника энергия должна быть равна ее потерям в контуре.
Пример существования периодического движения динамической системы (пример Пуанкаре)
Получим аналитически периодическое решение этой ДС
Замена 
