Лекция 8
..pdf
Теорема 3. Если в системе (2) не существует особых точек, то в ней не может быть и замкнутых фазовых траекторий.
Теорема 4. Если в системе (2) существует только одна особая точка, отличная от узла, фокуса и центра (например, седло), то такая система не допускает замкнутых фазовых траекторий.
Теорема 5. Критерий Дюлака. Если в односвязной области (то есть в области «без дырок») 2 фазового пространства системы (2) существует непрерывно дифференцируемая скалярная функция B(x,y), для которой величина
, , |
+ |
, , |
|
|
|
||
|
знакопостоянна и не обращается тождественно в ноль на , то в отсутствуют замкнутые траектории системы (2).
Функцию B(x,y) называют функцией Дюлака.
Частным случаем критерия Дюлака с функцией B(x,y)=1 является теорема Бендиксона, которая представляет собой достаточное условие отсутствия предельных циклов в некоторых областях фазовой плоскости.
|
|
Теорема 6 (Бендиксона). Пусть имеется автономная система |
|
ҧ |
2 |
, |
||||
|
|
ҧ= ҧ, ҧ |
|
|||||||
|
2 |
ҧ |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
– односвязная область и известно, что div = |
|
+ |
|
– постоянного знака в |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
области . Тогда в отсутствуют замкнутые траектории (целиком лежащие в ).
Односвязная область (плоская): для любой замкнутой непрерывной кривой, принадлежащей области, часть плоскости, ограниченная этой кривой, принадлежит области.
Рассмотрим уравнения вида
+ + = 0 |
(3) |
1º и 3º: Нечетность g(x) и xg(x)>0 означают, что сила –g(x) всегда имеет знак, противоположный знаку x.
1º и 2º: Четность f(x) вместе с f(0)<0 означает, что коэффициент сопротивления имеет отрицательный знак для малых отклонений.
4º и 5º: вблизи нулевого положения система не является диссипативной, явл. системой с самовозбуждением.
Бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа.
Необходимое и достаточное условие возникновения предельного цикла в нелинейной динамической системе.
Если в линейной системе корни характеристического уравнения комплексны, то при изменении знака Re λ1,2 (причем Im λ1,2 ≠0) происходит смена устойчивости фокуса. Нулевым значениям действительной части характеристических чисел (ляпуновских показателей) соответствует особая точка типа центр. В нелинейной системе при этом возможно рождение предельного цикла.
Изменение устойчивости фокуса в линейной системе при изменении Re λ1,2
Однако выполнение условий Теоремы 8 не является достаточным для появления предельного цикла, достаточные условия дает следующая теорема.
Теорема 9. Теорема Пуанкаре-Андронова-Хопфа.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть матрица линеаризованной |
|
системы |
= |
|
|
имеет пару |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
простых комплексно-сопряженных собственных значений, а также |
|
|
||||||||
|
1,2 |
< 0 при < 0, |
|
|
|
|
||||
1,2 0 |
= ± при = 0, > 0 и |
1,2 |
> 0 |
при > 0. |
|
|||||
Если выполнено неравенство, |
|
|
|
|
> 0, то положение равновесия |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x*=0 при > 0 |
становится неустойчивым. |
Одновременно |
возникает |
устойчивое |
||||||
(рождение цикла) или исчезает неустойчивое периодическое решение (жесткая потеря устойчивости) с амплитудой порядка . Асимптотически устойчивый цикл рождается, если x*=0 является при μ=0 асимптотически устойчивым положением равновесия.
Режимы возбуждения автоколебаний
Существуют два типа бифуркации Пуанкаре-Андронова-Хопфа:
1)закритическая (суперкритическая) бифуркация и
2)докритическая (субкритическая) бифуркация.
Первый тип приводит к «мягкому» возбуждению автоколебаний, второй тип к «жесткому».
Мягкое возбуждение автоколебаний
(4)
При любом значении параметра μ в системе (4) имеется положение равновесия x*=y*=0.
Устойчивость по первому приближению:
По теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению получаем, что при μ<0 положение равновесия, как линейной системы, так и исходной нелинейной, асимптотически устойчиво (асимптотически устойчивый фокус), при μ>0 – положение равновесия обеих систем неустойчиво.
Потеря устойчивости происходит при μ=0, это бифуркационное значение параметра.
В линейной системе при μ=0 положением равновесия становится центр, это устойчивая по Ляпунову особая точка. Однако центр является негрубым положением равновесия. При малых изменениях правых частей системы первого приближения он легко разрушается, и в нелинейной системе становится возможной
бифуркация рождения предельного цикла.
Здесь выполняются необходимые и достаточные условия Теорем 8-9, причем
Для исследования системы при потере устойчивости перейдем к полярным координатам: x=rcosφ, y=rsinφ.
(5)
монотонное решение r(t), полученное в полярных координатах, будет соответствовать периодическому решению в декартовых координатах.
Анализ устойчивости по первому приближению стационарных
значений r