Лекция 8

ЛЕКЦИЯ 8

БИФУРКАЦИЯ ПУАНКАРЕ-АНДРОНОВА- ХОПФА.

МЯГКОЕ И ЖЕСТКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ

Предельные циклы.

Периодическому изменению во времени соответствует замкнутая траектория на фазовой плоскости, называемая предельным циклом.

Предельным циклом называется замкнутая периодическая фазовая

траектория динамической системы, которая изолирована от других замкнутых

фазовых траекторий, и для которой:

1)в некоторой ε-окрестности предельного цикла нет других периодических траекторий (то есть это изолированная замкнутая траектория, в окрестности которой других замкнутых траекторий нет);

2)все траектории, начинающиеся в указанной ε-окрестности, стремятся к циклу при t → +∞ или при t → –∞.

Для траекторий в ε-окрестности предельного цикла возможны следующие асимптотические свойства:

Все траектории в ε-окрестности предельного цикла стремятся к нему при t → +∞.

Вэтом случае предельный цикл называется устойчивым.

Все траектории в ε-окрестности предельного цикла стремятся к нему при t → −∞ и, соответственно, покидают ε-окрестность при изменении времени в положительном направлении.

Вэтом случае предельный цикл называется неустойчивым.

Часть траекторий стремится к циклу при t → +∞, а часть траекторий при t → −∞.

Вэтом случае цикл называют полу-устойчивым.

три типа предельных циклов:

устойчивый (притягивающий) – аттрактор,

неустойчивым (отталкивающий) – репеллер,

полуустойчивым (с одной стороны притягивает, с другой отталкивает).

Предельные циклы встречаются на фазовых портретах исключительно нелинейных систем.

Замкнутые траектории в окрестности положения равновесия типа «центр», возникающие в линейных динамических системах, нельзя считать предельными циклами, поскольку они не изолированы − в сколь угодно малой окрестности любой замкнутой траектории имеются другие замкнутые траектории.

Движения, отображаемые устойчивым предельным циклом, обладают следующими свойствами:

а) устойчивостью по отношению к малым возмущениям периодического движения; б) независимостью периода и амплитуды движения от начальных условий.

Определение. Сепаратрисой называется траектория двумерной динамической системы, стремящаяся к седловому положению равновесия.

Всилу теоремы существования и единственности решения задачи Коши фазовые кривые не могут пересекаться.

Вдвумерном случае это существенно упрощает топологию фазовых траекторий: положения равновесия, предельные циклы и другие замкнутые

траектории, образованные сепаратрисами, практически полностью определяют фазовый портрет двумерной системы, а изменение «расстановки» этих объектов на фазовой плоскости при бифуркации приводит к качественной перестройке всего фазового портрета.

Выход с фазовой плоскости в пространство большей размерности приводит к

принципиальным качественным изменениям. Становятся возможными такие седловые

множества, как состояние равновесия седло-фокусного типа, седловой предельный

цикл и т.д. Появляются многомерные устойчивые и неустойчивые многообразия.

Реализуемые режимы поведения ДС становятся намного сложнее и многообразнее.

Кроме периодических колебаний становятся возможными квазипериодические и хаотические колебания. Возникают новые типы аттракторов – двумерные и многомерные торы, соответствующие квазипериодическим режимам, и др.

Условия существования или отсутствия предельных циклов.

Теорема 1. Если существует скалярная функция V(x,y) такая, что

то в системе (2) отсутствуют предельные циклы.

Теорема 2. Если в системе (2) существует асимптотически устойчивое положение равновесия (x*, y*), к которому стремятся все траектории системы, то предельные циклы в (2) отсутствуют.