Теория графов. Лекция 4

Независимо от Кирхгоффа Артур Кэли, перечисляя изомеры насыщенных углеводородов, еще раз ввёл понятие деревьев и первым исследовал их свойства (см.

рис. 4.2).

Артур Кэли

(1821-1895)

Рис. 4.2

Как чисто математический объект деревья были введены и исследованы Мари Энмон Камилем Жорданом.

Мари Энмон Камиль Жордан

(1838-1922)

Неориентированным деревом называется связный неориентированный граф, не содержащий циклов.

Можно сказать, что дерево является минимальным связным графом в том смысле, что при удалении хотя бы одного ребра он теряет связность.

Несвязный неориентированный граф без циклов, связные компоненты которого есть деревья, называется лесом.

Любая часть леса или дерева также не имеет циклов, то есть является лесом или деревом.

Пример 4.1. На рисунке 4.3 приведены примеры неориентированных деревьев.

Рис. 4.3

Свойства деревьев даёт следующая теорема.

Теорема 4.1. Пусть граф G (V , E) имеет n вершин и m рёбер. Тогда эквивалентными являются такие утверждения:

1)G является деревом;

2)G является ациклическим графом и m = n − 1;

3)G является связным графом и m = n − 1;

4)любые две вершины графа G соединяет единственная простая цепь;

5)G является ациклическим графом, но добавление любого нового ребра способствует возникновению ровно одного цикла.

Следствие 4.1.1. В любом дереве с числом вершин 2 ≥ n имеется не

менее двух концевых вершин.

Следствие 4.1.2. Пусть G − лес с n вершинами и k компонентами, тогда G имеет n − k рёбер.

Часто возникает вопрос, сколько различных деревьев можно построить на n вершинах. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 4.2 (Теорема Кэли). Число различных деревьев, которые

деревьев: см. рис. 4.4.

Рис. 4.4

Теорема Кэли имеет много разных интерпретаций и представляет интерес в связи с постановкой задачи о соединении городов: необходимо соединить n городов железными дорогами так, чтобы не строить лишних линий; сколькими способами можно построить такую систему дорог? Практическое значение этой задачи состоит в том, что: если известна стоимость с(A,В) строительства железной дороги между городами A и B, необходимо построить сеть дорог, соединяющих все n городов, имеющую наименьшую возможную стоимость. Теорема Кэли даёт решение этой задачи. Для этого каждому дереву G (V , E) , построенному на n вершинах,

сопоставляется сумма C(G) c( A, B) . Выбрав из этих сумм

( A,B) E

4.2. Код Прюфера

Код Прюфера – это способ взаимно однозначного кодирования помеченных деревьев с n вершинами с помощью последовательности n-2 целых чисел в отрезке [1,n]. То есть, можно сказать, что код Прюфера – это биекция между всеми остовными деревьями полного графа и числовыми последовательностями.

Данный способ кодирования деревьев был предложен немецким математиком Хайнцом Прюфером в 1918 году.

Рассмотрим алгоритм построения кода Прюфера для заданного дерева с n вершинами.

Пусть T – дерево с множеством вершин {v1, v2, …, vn}. Будем считать, что номер вершины vi равен i. Сопоставим дереву T вектор (a1, a2, …, an-2) по следующему алгоритму.

1.Найти висячую вершину с минимальным номером i.

2.Записать очередным элементом кода Прюфера номер вершины смежной с i, а вершину i удалить из дерева.

3.Если число вершин дерева больше 2, перейти к шагу 1.

Пример 4.3.

Рис. 4.5

Дерево, изображенное на рисунке 4.5, имеет такой код Прюфера:

(7, 3, 7, 8, 2, 7, 5, 3, 8, 3, 12).

Распаковка кода Прюфера a1, a2, …, an-2 осуществляется по следующему алгоритму (мы допускаем понятные вольности записи).

1.V = {1, 2, …, n} – множество вершин; А = a1, a2, …, an-2 – код Прюфера; i = 0.

2.i = i + 1.

3.Находим в V минимальное число m, не входящее в А; пишем ребро

(m, аi).

4. V = V − m. (удаляем вершину m из списка вершин V)

4. Повторяем шаг 3 до тех пор, пока не исчерпаем все возможные вершины без номера. Полученное в результате такого построения дерево Tn будет остовным деревом.

Построение последовательности деревьев T0 ,T1,...,Tn при нахождении

остовного дерева алгоритмом поиска в ширину равносильно удалению лишних рёбер в каждом цикле исходного графа.

Число рёбер, которые необходимо удалить в графе G для получения остовного дерева, называется цикломатическим числом графа G и обозначается (G) .

Цикломатическое число является мерой связности графа.

Следствие 4.1.3. Число рёбер произвольного графа G с n вершинами, m рёбрами и k компонентами связности (если граф связный, k =1), которые необходимо удалить для получения остовного дерева, не зависит от последовательности их удаления и равно:

Следствие 4.1.4. Граф G является лесом тогда и только тогда, когда цикломатическое число (G) 0 .

Следствие 4.1.5. Граф G имеет единственный цикл тогда и только тогда, когда цикломатическое число (G) 1.

Следствие 4.1.6. Граф, в котором число рёбер не меньше, чем число вершин, содержит цикл.

Пример 4.5.

Дан граф, имеющий 14 вершин и 18 рёбер (рис. 4.7). Требуется построить его остовное дерево (остов).

Рис. 4.7

3. Каждой вершине без номера, смежной с вершинами с номером 1, присваиваем номер 2 (рис. 4.8, б). Присоединяем к дереву T1 эти вершины. Добавляем к T1 те рёбра исходного графа, которые соединяют вершину с номером 2 только с одной вершиной с номером 1. В результате получаем дерево T2 (сплошные линии на рис. 4.8, б).

4. Каждой из оставшихся вершин без номера, смежных с вершинами с номерами 2, присваиваем номер 3 (рис. 4.8, в). Присоединяем к дереву T2 эти вершины и добавляем те рёбра исходного графа, которые соединяют вершину с номером 3 только с одной вершиной с номером 2. В результате получаем дерево T3 (сплошные линии на рис. 4.8, в).

Таким образом, полученное дерево T3 будет являться остовным деревом (рис. 4.9, а).

Надо отметить, что данное дерево является одним из многих остовных деревьев, которые можно получить в исходном графе, выбирая другую

На рис. 4.9, б) – тот же остов, но вершины в нём расположены подругому. При таком расположении вершин становится лучше видно, что это дерево.

Цикломатическое число графа равно 5.

В каждом связном графе имеется остовное дерево. В общем случае остовное дерево определено неоднозначно. Возникает вопрос: сколько остовных деревьев имеется в данном графе? Для ответа на этот вопрос необходимо ввести ещё одну матрицу, ассоциированную с графами.

Матрицей Кирхгофа неориентированного графа G с числом вершин n называется квадратная матрица К порядка n с элементами:

Теорема 4.3. Число остовных деревьев в связном графе G с числом вершин n 2 равно алгебраическому дополнению любого элемента матрицы Кирхгофа (4.2).

Пример 4.6.

Для графа, изображённого на рис. 4.10 записать матрицу Кирхгофа, найти число остовных деревьев.

Рис. 4.10

По теореме 4.3 число остовных деревьев равно 8 (см. рис. 4.11).

Рис. 4.11