PZMS

71

чить соответствующую им структурную формулу.

Рис.6.5. Структурная формула генетической структуры локальных стад нерки на речных нерестилищах

Таким образом, простота или сложность определяется знанием (или незнанием) структуры системы. До А.М.Бутлерова химические формулы представлялись предельно сложными. Открытие теории химического строения, основанной на фиксированных значениях валентностей, характерных для химических элементов, позволило сделать процедуру построения структуры химического соединения доступной школьнику и проектировать соединения перед их синтезом.

7. АНАЛИЗ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ В СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ СТАТИЧЕСКОГО РАЗРЕЗА

В [24] указывается, что «существуют определенные градиенты концентрации, которые определяют слоистые или непрерывные отложения осадка при данных условиях растворимости. Зависимость расстояния между слоями определяется геометрическим рядом:

hn 1 hn 2

Эту же пропорцию использовал Кирквуд (1814 - 1895) в качестве закона планетных расстояний. Он считал, что разности ра-

72

диусов инерции первоначальных колец образуют геометрическую прогрессию, т.е.

Xn 1 Xn K, Xn Xn 1

Xn rn2 rn2 1 , 2

где rn - расстояние n-ой планеты от Солнца, K - постоянная. Пропорцию Кирквуда перепишем в виде:

Xn 1 (1 K) Xn K Xn 1.

Решение линейного рекуррентного уравнения ищется в виде Хn = n, где -константа. Тогда характеристическое уравнение имеет вид

λ2 (1 K) λ K 0.

Тогда λ (k 1) (1 k).

22

Врезультате корни характеристического уравнения имеют

вид 1 = 1, 2 =К. Тогда решение уравнения Кирквуда запишется в виде:

Хn = а + b Кn.

Таким образом, фактически пропорция Кирквуда воспроизводит показательную функцию от уровня

ln(xn a) lnb n lnK

или

,

т.е. темп экспоненциальной зависимости равен lnK или eln K k- основание степенной функции.

Отсюда, определив угол наклона зависимостиln(xn a) от n в полулогарифмическом масштабе, получим значение основания

степенной функцииk elnK eu (рис.7.1).

Другой, более быстрый и детальный способ идентификации параметров модели может быть получен из зависимостей

Xn 1 a b KKn

73

Xn a b Kn

Тогда Xn 1 Xn b(K 1) Kn или

ln(Xn 1 Xn) ln(b(K 1)) nl nK

и построение зависимости ln(Xn 1 Xn) от n позволит определить параметр К.

При n = 0 X1 X0 b(K 1) и при известных К, Х1 и Х0 получим

b (X1 X0). (K 1)

Рис.7.1 Схема определения основания показательной функции

Фактически пропорция Кирквуда является реализацией геометрических свойств интегральных кривых линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

dy

dx f1(x)y f2(x).

Пусть известны два частных решения y1, y2 неоднородного уравнения, то общее решение можно получить вовсе без квадратур

y y1 C(y2 y1).

Пусть y3 - частное решение, отличное от y1,y2. Тогда

74

y3 y1 C1(y2 y1).

Отсюда выводятся тождества:

y3 y1 C1(y2 y1), y2 y3 (1 C1)(y2 y1),

из которых следует, что

y2 y3 1 C1 , y3 y1 C1

т.е. всякая интегральная кривая линейного уравнения делит в постоянном отношении отрезок ординаты между какими-либо двумя интегральными кривыми этого уравнения [25].

Из равенств

M3M2 N3N2 ... 1 C1

следует, что секущие N1M1, N3M3, N2M2,... должны пересекаться в одной точке, или быть параллельными. При неограниченном уменьшении секущих они перейдут к касательным. Таким образом, касательные к интегральным кривым линейного уравнения, проведенные в точках пересечения этих кривых прямой, параллельной оси Оу, или пересекаются в одной точке, или параллельны.

Примерами реализации пропорции Кирквуда являются классические модели ограниченного роста, например, логистическая модель и модель Гомперца [26].

Интеграл модели Гомперца

y(t) y exp[ exp( a(t t0)),

ln yt e a(t t0).

xt (p 1)xt 1 pxt 2.

Таким образом, дискретный аналог уравнения Гомперца показывает, что это модель процесса с памятью на два шага от текущего значения аргумента.

В результате

p xt xt 1 . xt 1 xt 2

Это пропорция Кирквуда. В результате задача идентификации параметров уравнения Гомперца может решаться через рекуррентное уравнение, определяемое пропорцией Кирквуда.

Для логистического уравнения

Эти свойства интегральных кривых широко распространены в характеристиках объектов самой различной природы. В техническом анализе основные паттерны, выделяемые в экономической динамике, получили название каналов. Они характеризуются развитием систем между двумя параллельными прямыми. Гегель считал: «Нет более выразительного и чистого выражения разума, нет предмета, более достойного философского рассмотрения, чем то живое существо, которое мы именуем Солнечной системой» [27].

76

Рассмотрим реализацию данного алгоритма определения параметров показательной функции от уровня на классическом примере расстояний планет Солнечной системы. Исходные данные для проведения оценок приведены в табл.7.1.

Таблица 7.1

Расстояния планет от Солнца и логарифмы разностей расстояний до соседних планет

Зависимость ln (Хn+1 - Хn) от n представлена на рис.7.2 и характеризуется линейным трендом от Венеры до Плутона. Здесь Венере соответствует номер 0, Земле – 1, Марсу – 2, поясу астероидов – 3, Юпитеру – 4, Сатурну – 5, Урану – 6 и Плутону – 7.

По крайним точкам линейного тренда оценим основание показательной функции К

Тогда b (a1 a0) 1 0,72 0,3 и из условия

(K 1)

a1 a b K, a a1 b K 1 0.3 2 0.4

В результате воспроизводится известный закон Тициуса – Боде [28]

an = 0,4 + 0,3*2n.

Здесь постоянный член характеризует расстояние от Солнца ближайшей к нему планеты - Меркурия, что соответствует значе-

Проверку единства ритмической структуры нашего мира можно проследить, переходя от расстояний планет Солнечной системы от Солнца к спутникам планет. В этом случае роль Солнца, как центрального тела для планет, играют сами планеты для своих спутников. На рис.7.3 представлены расстояния спутников Юпитера от Юпитера в функции от их номера по мере удаления от центрального тела. Отметим при этом, что, как и в случае закона Тициуса-Боде, когда пропущенная планета определила положение пояса астероидов, здесь также имеются пропущенные валентные уровни, которые восстанавливаются смещением следующего расстояния для спутника на столько тактов, чтобы результат попал на предшествующую линейную зависимость. Здесь пропущенными являются значения, соответствующие к=7 и к=8.

На рис.7.4- рис.7.6 аналогичные зависимости представлены для Сатурна, Урана и Нептуна, которые показывают такие же регулярные последовательности, как и представленные на рис.7.2

Для Урана зафиксирован максимальный по числу спутников ряд, реализованный без пропусков. В связи с этим рассмотрим зависимость для логарифмов разностей расстояний для соседних

80

попали в одну октаву (между 1 и 2). В результате он получил последовательность, которая и известна как музыкальная шкала Пифагора или диатонической гаммы: 1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128, 2. Отношение 9/8 называется тоном (или целым тоном), а 256/243 – полутоном. Таким образом, семь нот диатонической гаммы представляют собой последовательность типа геометрической прогрессии с модулями, равными тону и полутону. Эти модули геометрической прогрессии хорошо выделяются при анализе зависимости логарифмов разностей частот последовательных нот от их номера (рис.7.9). «Музыка, как математика в звуке», - задача созданного в 1747 г. И.С. Бахом Лейпцигского музыкального общества.

Рис.7.9 Логарифм разности длин струн для соседних нот в шкале Пифагора

В соответствии с диалогом Платона «Тимей» Демиург при создании мира «целое ... разделил на нужное число частей, каждая из которых являла собой смесь тождественного, иного и сущности. Делить же он начал следующим образом: прежде всего отнял от целого одну долю, затем вторую, вдвое большую, треть. - в полтора раза больше второй и в три раза больше первой, четвертую - вдвое больше второй, пятую - вдвое больше третьей, шестую - в восемь раз больше первой, а седьмую - в двадцать семь раз. После этого он стал заполнять образовавшиеся двойные и тройные промежутки, отсекая от той же смеси все