PZMS

61

Таким образом, функции плотности распределения могут рассматриваться как квазиполиномы моделей с памятью, а моменты появления в решениях характеристического уравнения псевдоположительных корней - как точки фазовых переходов.

В математической статистике смысл параметров распределений не выясняется. Это параметры аппроксимации. В действительности это влияние релаксационных механизмов, в результате чего параметры распределений могут определяться непосредственными измерениями релаксационных характеристик систем.

Таким образом, в качестве принципа полноты описания предъявляется требование одновременного анализа данных статического разреза и динамики. Это позволяет восстанавливать динамику по законам распределения и наоборот, также решать задачи идентификации релаксационныхсвойств по законамраспределения.

5. ВЛИЯНИЕ ПОЛНОТЫ ВЫБОРКИ НА РЕЗУЛЬТАТЫ МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ВЫБОРКИ

Основные результаты теории вероятностей и математической статистики, используемые при анализе надежности, требуют, чтобы выборка была большая и однородная. Эти требования, как правило, не выполняются. Реально в задачах оценки надежности приходится иметь дело с малыми выборками, которые еще

62

исодержат данные о качественно разных состояниях.

Вматематической статистике существует метод Р.А.Фишера определения доверительного интервала средней для малых выборок [19].

Ввыборке размера n в предположении о нормальном рас-

пределении количество μ M Sμ распределено в t распределе-

нии Стьюдента с (n-1) степенями свободы при стандартном отклонении среднейSn Sμ n.

Здесь μ- выборочная средняя, M - вероятная средняя, sμ - выборочное стандартное отклонение.

Доверительный интервал в 95% равен

μ t0.05Sn M μ t0.05Sn.

Величина t0,05 определяется по таблице t Фишера [19] (приложение 1).

Таким образом, если производится большое число выборок размера n и вычисляются доверительные интервалы, то полученный в результате интервал должен включать истинную величину вероятной средней приблизительно в 95% случаев.

Получаемая при этом оценка задает диапазон однородности измерений, выход за который связан с изменением качественного состояния системы.

Использование этого метода осложняется необходимостью обращения к таблице t Фишера. Кроме того, предположение о нормальном распределении отношения разности выборочной и вероятной средних к стандартному отклонению средней для малых выборок проблематично, т.к. нормальный закон справедлив для больших однородных выборок.

В принципе целесообразно иметь метод анализа данных, позволяющий оперативно делать оценки границ, классифицирующих диапазонов для выборок, содержащих данные, принадлежащие к качественно разным группам.

Как показано выше, постоянство относительной ошибки результатов измерений определяется линейной зависимостью между логарифмом характеристики состояния системы и аргументом.

Точки, в которых данные отклоняются от линейной зависи-

63

мости, называются критическими. Пара соседних критических точек определяет диапазон однородности эмпирических данных для анализируемой выборки.

Обработка большого количества малых статистических выборок с построением их ранговых распределений в полулогарифмическом масштабе и сопоставление полученных критических точек с результатами обработки тех же данных по Фишеру показала их полную идентичность по возможностям классификации однородных групп в малых статистических выборках.

В качестве примера рассмотрим данные о числе отклонений от конструкторской документации при изготовлении партии сложных технических систем, табл.5.1.

Прежде всего, данные сортируются для построения рангового распределения в полулогарифмическом масштабе. По оси абсцисс откладывается порядковый номер точки, а по оси ординат – логарифм числа отклонений, рис.5.4.

64

В теории размерностей известно, что в критических точках значение безразмерной переменной порядка единицы [20]. Отсюда в связи с тем, что показатель степени у экспоненты величина безразмерная,

kt* 1 и y* e. y0

В результате можно ожидать, что изменение характеристик цепных реакций квантуется изменением функции в e=2,71828… раз. Это простое следствие теории размерностей.

На рис.5.1 приведены результаты первых экспериментов по исследованию динамики радиоактивного распада, проведенных в

1905 г. [21].

t, сутки

Рис.5.1 Динамика радиоактивного распада, по оси ординат активность в относительных единицах, масштаб натуральный ло-

гарифмический

Здесь очевидны разрывы, характеризующие переходы через критические состояния. Расположены они регулярно через равные интервалы, равные для натуральных логарифмов активности единице, что соответствует изменению самой активности между разрывами в е раз.

При построении шкал отношений проблема состоит в опре-

65

делении таких чисел, которые единым образом определяют структуру природных систем. Оказалось, что такие числа связаны, в частности, с числом Непера е=2,71828..., которое является основанием натуральных логарифмов. При решении задачи о реализации умножения через сложение основоположник логарифмов Джон Непер сопоставил члены арифметической и геометрической прогрессий [22]. Он разбил единичный интервал на n равных частей и каждому члену полученной арифметической прогрессии поставил в соответствие члены геометрической прогрессии. Последний член геометрической прогрессии, соответствующий 1 в арифметической прогрессии, при n, стремящемся к бесконечности, и определяет значение числа Непера. Подобного рода механизмы взаимодействий между членами арифметической и геометрической прогрессий широко представлены как в природе, так и в рукотворных системах. Так, клавиши пианино представляют арифметическую прогрессию, а частоты соответствующих им нот - геометрическую.

На рис.5.2-5.7 построены ранговые распределения для данных величины сердечного ритма с разным количеством элементов в линейном масштабе и логарифмических масштабах по оси ординат. Пунктирными линиями обозначены границы, полученные методом Фишера.

66

Из представленных выше рисунков (рис.5.2-рис.5.6) видно совпадение интервалов однородности намечаемых методом Фишера и ранговым распределением. Метод Фишера отмечает один диапазон, ранговое распределение намечает несколько диапазонов.

6. ПОСТРОЕНИЕ СТРУКТУР СИСТЕМ ПО ДАННЫМ СТАТИСТИЧЕСКИХ ВЫБОРОК

Возможности теории химического строения А.М.Бутлерова

ln BB'

Рис.6.2. Зависимость процента гетерозиготного генотипа локальных стад нерки от линии регрессии (6.1) как аргумента

Как видно из результатов, представленных на рис.6.2, большое количество точек попадает в совокупность, которая характеризуется линией регрессии вида

где С - константа, тогда как большая часть данных отклоняется от этой зависимости. Возьмем линию регрессии (6.3) за новую

69

переменную.

В функции от наиболее редко встречающегося генотипа B’B’ для точек, принадлежащих линии регрессии (6.3), новая пере-

2

менная BB (BBB B ) 3 должна давать постоянный уровень. Данные, приведенные на рис.6.3, показывают, что разбросы наблюдаются для редко встречающегося генотипа B’B’ при частоте их встречаемости меньшей 12%. Если частоты встречаемости генотипа B’B’ превышают эту величину, соотношения между генотипами этих стад соответствуют постоянству зависимо-

сти (6.3).

Таким образом, выделяется группа локальных стад, для которых соотношение (6.3) определяет взаимосвязи между частотами генотипов, при этом в данную группу попадают стада с частотой встречаемости генотипа B’B’ 12%. Это условие отделяет речные нерестилища, на которых реализованы существенно более жесткие условия отбора по сравнению с озерными нерестилищами, где реализуется условие B’B’ 12%.

[(B’B’)(BB’)3 (ВВ)2] 1/6 (1/6)[(ВВ)2(B’B’)(BB’)3], где в правой части запись соответствует элементарной формуле, принятой в химии, т.е. (ВВ)2(B’B’)(BB’)3 означает, что на единицу (B’B’) приходится 2 единицы (ВВ)) и 3 единицы (BB’).

Для построения структурной формулы в соответствии с теорией химического строения А.М.Бутлерова требуется знать валентности - число связей между элементами структур. Полученная элементарная формула соответствует формуле угольной кислоты Н2СО3, в которой углерод имеет 4 валентности, кислород - 2 и водород - 1. В результате структурная формула генетической структуры локальных стад нерки на речных нерестилищах имеет вид рис.6.5.

Рассмотрением данных о генетической структуре озерных локальных стад можно аналогичными преобразованиями полу-