PZMS

51

ментом.

Основные механизмы потери устойчивости связаны с влиянием «предысторий» развития систем (пространственных и временных), определяющих их текущие параметры.

4.ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ИПРЕДЕЛЫ ИХ ПРИМЕНИМОСТИ

Рассмотрим подход к определению ограничений на законы распределения, основанный непосредственно на изучении их характеристик [14]. Допустим при этом, что законы распределения, принятые в математической статистике, являются идеальными моделями реальных явлений. Тогда значения параметров, при которых наблюдаются качественные изменения характеристик закона распределения, должны найти отражение в аналитических свойствах функций, моделирующих эти законы. Проверка этого положения может быть проведена исследованием характеристик моделей, описывающих основные законы распределения и идентификацией полученных особенностей при обработке реальных экспериментальных данных.

В математической статистике обычно оперируют только действительными значениями параметров распределений, при этом области псевдоположительных корней характеристического уравнения могут трактоваться как соответствующие закону распределения с другими параметрами, либо вообще другому закону распределения.

Рассматривая функции плотности распределения как характеристические уравнения для динамических систем с запаздыванием, будем считать в общем случае их параметры комплексными числами. Тогда области, где эти функции имеют действительные корни, будут соответствовать функциям плотности распределения в общепринятом смысле, тогда как области, где существуют псевдоположительные корни, будут характеризовать принципиальное изменение свойств элементов статистической выборки.

52

В связи с изложенным, определим для характеристического уравнения (3.3) и соответствующих ему законов распределения области в пространстве их параметров, где они могут быть использованы в пределах одного характера решений.

Из рассмотренных в табл.3.1 распределений экспоненциальное и Пуассона имеют запаздывание, которое не зависит от параметра z. Для этих распределений при τ>0 область, где отсутствуют псевдоположительные корни, но имеется действительный положительный корень, определяется соотношением

0 zτ 1.293

При z<0 решение уравнения (3.4) имеет асимптотически экспоненциальный характер, если выполняется условие

zτe z τ 1 e

откуда

zτ 1.

Таким образом, для распределений с запаздыванием, не зависящим от z, ограничения на области использования этих распределений определяются соотношениями, приведенными в табл.4.1.

Таблица 4.1

Ограничения на пределы использования распределения с запаздыванием, не зависящим от z

Для оценки содержательности полученных ограничений рассмотрим экспериментальные данные, которые в литературе приводят в качестве примеров распределения Пуассона, Заметим, что это распределение лежит в основе ряда результатов в

53

методе статистических испытаний, теории массового обслуживания, при обработке экспериментальных данных в различных областях науки и техники. Широта его применений была осознана после того, как было показано, что число смертельных случаев в прусской армии из-за брыкания лошадей подчиняется распределению Пуассона.

Это распределение характеризует вероятность того, что в диапазоне единичной длины происходит ровно k событий, если они являются чисто случайными. Частным случаем распределения Пуассона при k=0 является экспоненциальное распределение.

Параметр распределения z можно оценить через величины двух соседних чисел реализаций

zk ln Nk 1 Nk

где Nk - число случаев, где наблюдалось k событий. Тогда с учетом ограничений, приведенных в табл.4.1,

1 zk ln Nk 1 1.293,

Nk

и тогда

0.368 Nk 1 3.644

Nk

В соответствии с опытами Резерфорда и Чедвика радиоактивное вещество наблюдали в течение 2608 промежутков времени, каждый длительностью 7,5 с; для каждого интервала регистрировалось число частиц, достигших счетчика. Данные приведены в табл.4.2.

Таблица 4.2

Число радиоактивных частиц, наблюдавшихся в течении k временных интервалов

54

Из рис.4.1 видно, что эти данные соответствуют распределению Пуассона и полученной теоретически системе ограничений.

Рис.4.1 Проверка ограничений на распределение Пуассона по данным о числе α - частиц, приходящих на счетчик за единицу времени

На рис.4.2 показаны границы применимости распределения Пуассона для данных рис.2.17.

Рис.4.2 Анаморфоза для данных рис.2.17

В качестве примеров распределения Пуассона приводят данные о числе телефонных соединений с неправильным номером (рис.4.3), о числе бактерий в различных квадратах чашки Петри, о выживании швейцарских скворцов в зависимости от их числа в гнезде, об окотах с различным числом котят, о рас-

55

пределении числа одновременно стоявших станков из-за переналадки оборудования [8].

Рис.4.3 Проверка ограничений на распределение Пуассона по данным о числе телефонных соединений с неправильным но-

мером

Во всех указанных случаях реализации процессов, которые различные авторы относят к распределению Пуассона, данные оказываются внутри полученного диапазона для этого распределения. Однако, среди примеров имеется такой, для которого почти все реализации оказываются ниже нижней границы. Это данные об изменении хромосом, вызванном рентгеновским облучением, где k - число изменений, а Nk- число клеток с таким числом изменений. Эти данные показывают, что полученная совокупность не соответствует границам существования процессов пуассоновского типа, что может характеризовать нежизнеспособность полученных в результате рентгеновского облучения клеток.

Таким образом, устойчиво функционирующие системы дают реализации, соответствующие диапазону изменения параметров, согласованному с законом распределения данных. При переходе через указанные границы происходит изменение природы рассматриваемого процесса, и он должен описываться там

56

другой моделью или, по крайней мере, менять параметры при сохранении структуры модели. Только при этих условиях может быть обеспечена точность статистической идентификации наблюдаемых характеристик реального процесса.

Вматематической статистике смысл параметров распределений не выясняется. Это параметры аппроксимации. В действительности это влияние релаксационных механизмов, в результате чего параметры распределений могут определяться непосредственными измерениями релаксационных характеристик систем.

Вкачестве принципа полноты описания предъявляется требование одновременного анализа данных статического разреза и динамики. Это позволяет восстанавливать динамику по законам распределения и наоборот, также решать задачи идентификации релаксационных свойств по законам распределения.

Таким образом, устойчиво функционирующие системы дают реализации, соответствующие диапазону изменения параметров, согласованному с законом распределения данных. При переходе через указанные границы происходит изменение природы рассматриваемого процесса, и он должен описываться там другой моделью или, по крайней мере, менять параметры при сохранении структуры модели. Только при этих условиях может быть обеспечена точность статистической идентификации наблюдаемых характеристик реального процесса.

Рассмотрим теперь особенности распределения, для которых характерна зависимость запаздывания от z , т.е. при τ=az

Это характерно для нормального распределения. Уравнение (3.5) для нормального распределения перепи-

шется в виде

dy(t) zeaz2 y(t az) dt

или для нормального распределения

Уравнение (4.2) - запаздывающего неустойчивого типа при

57

z>0 и опережающего типа при z<0.

При z>0 область, где характеристическое уравнение для (4.2) имеет единственный действительный положительный корень, определяется соотношением:

Переход через границу (4.3) приводит к появлению псевдоположительных корней характеристического уравнения. Это указывает на принципиальное изменение характера протекающего процесса, в связи с чем при нарушении указанного соотношения необходимо использовать закон распределения, отличный от исходного.

Зависимости вида z<aσ, где параметр a выбирается применительно к конкретным условиям статистического анализа, широко используются при обработке данных. Так, в физике принимают a=1, в теории надежности a=3. Однако приводимые обоснования величины диапазона носят качественный характер. Эти величины связывают со значением интегральной функции распределения F0 , являющейся интегралом от функции плотности распределения в пределах от -∞ до указанной границы. Значение этой функции, определяемое из таблиц, соответствует доле числа реализаций, принадлежащих диапазону. Для соотношения (4.3)

и соответствующее табличное значение функции распределения

F0 = 0,7734, (4.6)

т.е. вне диапазона (4.5) остается около 23% реализаций. Переход через границу (4.5) также приводит к качественному изменению

58

характера решения.

Таким образом, область, где решения уравнения (4.2), соответствующего нормальному закону распределения, не имеют колебаний с возрастающей амплитудой, определяются границами

(4.3) и (4.5).

То есть, -0.75σ < z <1.6σ (4.7)

Оценка (4.5), показывающая, что около 23% от выборки представляет самостоятельную совокупность, достаточно часто встречающуюся в конкретных исследованиях. Так, среди основных закономерностей научной работы отмечают постулаты:

-все характерные числа в повседневной жизни имеют 25% разброс, который изредка сокращается до 10%;

-лучшие эксперты сопротивляются нововведениям потому, что хотят остаться экспертами, и в 75% случаев они действительно правы.

В конце XIX в. Н.Волоцкой [15] обработал данные об итогах сражения во время гражданской войны в США в 1864г. при Геттисборге, в Пенсильвании, где на поле боя были собраны 24000 заряженных ружей, принадлежавших обеим армиям. Ружья тогда заряжались с дула. В половине из них были найдены двойные заряды, в одной четверти оказалось от 3 до 10 зарядов, в некоторых при одном заряде по 5 и 6 пуль и, наконец, в одном из старых гладкоствольных ружей до 22 пуль, перемешанных с порохом. Только четвертая часть была заряжена правильно, одним патроном. В результате Н.Волоцкой приходит к выводу, что «в бою приходится иметь дело едва-едва с четвертью толком направленных выстрелов». Проведенные американцами исследования эффективности применения личного оружия в боевой обстановке в 400 ротах в период войн в Корее и Вьетнаме показали, что из полного состава, имевшего личное оружие, в сторону противника стреляют не более 25%, при этом не более 10% целятся и занимают выгодное положение для стрельбы [16].

Другой набор границ определяется случаем, когда

откуда

60

ния является неоднородной. Отметим, что оценки (4.3), (4.5), (4.9), (4.10) располагаются с двух сторон от точки перегиба нормальной кривой распределения.

Следовательно, определенным законам распределения, полученным по экспериментальным данным о характеристиках системы, соответствуют вполне определенные границы. При выходе за эти границы происходит изменение природы процесса, в связи с чем расчеты параметров сложных систем целесообразно проводить с учетом принципиального изменения характера их функционирования в разных диапазонах z. Использование ограничений на эти диапазоны может существенно повысить точность результатов обработки статистической информации. Это достигается как за счет более обоснованного априорного определения границ диапазонов параметров для заданного закона распределения, так и за счет выбора соответствующего экспериментальным данным закона распределения по известным диапазонам изменения данных.

На рис.4.4 и рис.4.6 показаны границы применимости нормального распределения для данных рис.2.19. На рис.4.4 границы посчитаны по формуле (4.7).

На рис. границы посчитаны по формуле (4.12).