PZMS

Построение данных, соответствующих распределению Гомперца,

Рис.2.43 Анаморфоза для данных табл.2.7

По коэффициенту наклона прямой значение параметра k 0.6, а A e1.2559 3.5. При построении этой анаморфозы, некоторое количество начальных точек не используется из-за того, что сумма накопленных значений F(x) в начале имеет некоторую ошибку.

47

Связь между этими методами представления информации дается эргодической теоремой (иногда ее называют эргодической гипотезой), в соответствии с которой средние по времени и по фазовому пространству равны между собой [9]. Отсюда появляется часто используемая в практике научных и практических исследований возможность по динамике конкретного объекта судить о характеристиках совокупности таких объектов, либо по данным о характеристиках статистической совокупности в данный момент времени характеризовать динамику индивидуального объекта.

Например, посадив малька рыбки в аквариум, можно наблюдать во времени рост ее длины и тем определять кривую роста. С другой стороны, можно спустить воду из пруда, собрать всех рыбок данного вида и построить функцию плотности распределения их по размерам. Как в одном, так и в другом случае мы получим информацию о том, какие рыбки бывают на разных стадиях развития.

На кривых роста мы наблюдали наличие критических точек, в которых принципиально меняется характер развития. В связи с тем, что в соответствии с эргодической теоремой динамика и данные статического разреза взаимосвязаны, естественно ожидать, что и в законах распределения математической статистики, представляющих информацию о данных статического разреза , будут реализованы критические состояния, являющиеся проекциями соответствующих критических возрастов из динамики развития.

Этим ставится проблема определения границ диапазонов однородности при статистической обработке экспериментальных данных. Знание точных значений границ сохранения свойств статистических совокупностей диктуется необходимостью решения широкого круга прикладных задач.

Связь между входом системы x(t) и выходом y(t) определяется разнесением по времени на интервал τ. В результате сигнал на выходе системы в данный момент времени характеризуется входным сигналом в момент времени (t-τ) [10-13].

Тогда характеристики линейной системы представляются

Аналитическое выражение взаимосвязей между динамическим описанием и данных статического разреза в соответствии с эргодической гипотезой можно проследить, рассматривая характеристическое уравнение для представленного выше уравнения.

Будем искать решение в экспоненциальной форме x ezt, y H(z) ezt .

При этом H(z) y, т.е. определяет соотношение сигналов на x

входе и выходе системы.

Тогда характеристическое уравнение для (3.1) записывается в виде:

H(z)(amzm am 1amzm 1 ... a0)

(3.2)

(bpzp bp 1zp 1 ... b0) e zτ 0

Левая часть этого уравнения называется характеристическим квазиполиномом.

Это уравнение не содержит времени в отличие от (3.1) и определяет только соотношение между параметрами рассматриваемой системы, которые могут быть определены из анализа данных для группы объектов в фиксированный момент времени. В связи с этим квазиполином (3.2) можно рассматривать как некоторую функцию плотности распределения математической статистики. Такие функции, как известно, используются при обработке экспериментальных данных, относящихся к определенному моменту времени. Покажем, что основные практически используемые функции плотности вероятности являются частными случаями квазиполинома (3.2).

Из характеристического квазиполинома соотношение сигналов на входе и выходе системы определяется соотношением

49

которое, при z=iv, называется частотной характеристикой. Условие устойчивости при этом определяется как равенство

нулю знаменателя частотной характеристики

amzm am 1amzm 1 ... a0 0

Однако для общего случая, когда корни характеристического уравнения являются комплексными, они могут быть и псевдоположительными, т.е. иметь положительную действительную часть при ненулевом коэффициенте при мнимой части, что также соответствует потере устойчивости.

Назовем соотношение (3.2) комплексной характеристикой для случая z=u+iv.

При нахождении решений уравнения (3.2) часто пользуются оценкой весомостей членов, входящих в его состав. Выбрав члены с наибольшей весомостью, определяют характер решения. При этом оказывается, что при различных диапазонах значений переменных и параметров, превалирующими являются различные члены. Так, при z>>0 доминируют члены с максимальными значениями показателей степени m и p: Тогда в случае одного доминирующего члена в ряду функций текущего значения времени и одного в ряду функций отклоняющегося значения аргумента

Заметим, что основные законы распределения, используемые в математической статистике, являются частными случаями характеристического квазиполинома уравнения (3.1), соответствующими комплексной характеристике (3.3).

Все эти распределения представляют собой показательные функции, либо их комбинацию со степенными функциями. В результате, в качестве основного требования к моделям обработки данных о надежности сложных систем требуется ввести такое описание, которое будет включать класс этих функций в качестве

50

частных случаев. В табл.3.1 эти функции сопоставлены с параметрами уравнений (3.4).

Таблица 3.1

Параметры уравнения (3.4) и соответствующие им функции плотности вероятностей

Исследованию корней характеристических уравнений посвящено много работ, в которых получены теоремы сравнения для практически важных случаев при переменных значениях коэффициентов и запаздываний. Эти результаты позволяют выделить в пространстве параметров области, где сохраняется характер решений уравнения (3.1).

Умножим обе части уравнения (3.3) на zezt . Тогда

Таким образом, сигнал на выходе системы определяется линейным дифференциальным уравнением с запаздывающим аргу-