PZMS
.pdf
31
Таблица 2.3.
Модельные данные распределения Пуассона, λ =8
k |
f(k) |
k |
f(k) |
k |
f(k) |
K |
f(k) |
0 |
0,000335 |
5 |
0,091604 |
10 |
0,099262 |
15 |
0,009026 |
2 |
0,010735 |
7 |
0,139587 |
12 |
0,048127 |
17 |
0,002124 |
3 |
0,028626 |
8 |
0,139587 |
13 |
0,029616 |
18 |
0,000944 |
4 |
0,057252 |
9 |
0,124077 |
14 |
0,016924 |
19 |
0,000397 |
Рис.2.18 Функция плотности рас- Рис.2.19 Анаморфоза для дан-
пределения для данных табл.2.3 |
ных табл. 2.3 |
|
Из уравнения прямой получается, что |
ln(λ) 2.08 или |
λ 8. |
Анаморфоза воспроизводит исходное значение параметра λ. |
|
|
Рис.2.20 Модельные данные, |
Рис.2.21 Анаморфоза для дан- |
полученные функцией rpois. |
ных рис.2.20 |
32
В следующем примере исходный данные получены с помощью функции rpois программы Mathcad (рис.2.20), генерирующей случайные числа с плотностью распределения Пуассона, параметр λ 5.
Из уравнения прямой получается, что ln(λ) 1.58 или λ 5. Анаморфоза воспроизводит исходное значение параметра λ, однако, не все точки исходного ряда принадлежат к распределению Пуассона.
2.4. Нормальное распределение
Плотность вероятности нормального распределения:
|
|
1 |
|
|
(x μ)2 |
|
||
|
|
|
|
2 . |
||||
f (x) |
|
|
e 2σ |
|||||
|
|
|
|
|||||
σ |
|
2π |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим применение анаморфозы на модельных данных, полученных функцией rnorm программы Mathcad (рис.2.22), генерирующей случайные числа с нормальной плотностью распределения, параметры μ = 0, σ = 2.
Анаморфоза для нормального распределения:
1 |
|
|
(x μ)2 |
||||
ln( f (x)) ln( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
σ 2π |
2σ |
||||||
|
|
|
|||||
Рис.2.22 Модельные данные, |
Рис.2.23 Анаморфоза для данных, |
полученные функцией rnorm. |
полученных функцией rnorm. |
33
Построение данных, соответствующих нормальному распределе-
нию, дает спрямления в координатах ln( f (x)) ~ (x μ)2 (рис.2.23). Если значение параметра μ неизвестно, то его можно определить варьированием, выбрав значение при котором данные линеаризуются на большем интервале.
|
|
По |
|
коэффициенту |
наклона |
прямой, |
равному |
|
k 1 2σ2 |
0,123, |
определяется |
значение |
параметра |
||||
σ |
|
1 |
|
2. Анаморфоза воспроизводит исходное значение |
||||
|
||||||||
|
|
2 0,123 |
|
|
|
|
||
параметра σ.
При построении анаморфоз для данных табл.1.1 получается, что существует разница между значениями математического ожидания, полученного непосредственным подсчетом по генеральной совокупности, и математическим ожиданием, как соответствующим минимальным отклонениям от линеаризующей зависимости в анаморфозе.
Рис.2.24 Анаморфоза для дан- |
Рис.2.25 Анаморфоза для дан- |
ных табл.1.1, μ = 8.6 |
ных табл.1.1, μ = 8.55 |
Здесь выпадают 4 точки с правой стороны (рис.2.24), тогда как в [3] исключаются 3 точки справа и 2 точки слева. Здесь же слева исключается только одна точка. Отметим высокую чувствительность результата к положению средней. В [3] она берется равной 8,55. Как видно из рис.2.25, оценка при этом улучшается.
34
2.5. Логнормальное распределение
Плотность вероятности логнормального распределения:
|
1 |
|
|
|
(lnx μ)2 |
|
|
|
|
|
|
2 . |
|||
f (x) |
|
|
e 2σ |
||||
x σ |
|
|
|||||
|
2π |
|
|
||||
Рассмотрим применение анаморфозы на модельных данных, полученных функцией rlnorm программы Mathcad (рис.2.26), генерирующей случайные числа с логнормальной плотностью распределения, параметры μ = 0, σ = 0,5.
Анаморфоза для логнормального распределения:
|
|
|
σ2 |
|
|
(ln(x) (μ σ |
2)) |
2 |
. |
|
|
|
|
||||||||
ln(f (x)) ln(σ |
2π) |
|
μ |
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
2σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Построение данных, соответствующих логнормальному распределению, дает спрямления в координатах
ln( f (x)) ~ ln (x (μ σ2))2 (рис.2.27). Если значение параметров μ и σ неизвестно, то его можно определить варьированием
(μ σ2), выбрав значение при котором данные линеаризуются на большем интервале.
Рис.2.26 Модельные данные, по- |
Рис.2.27 Анаморфоза для данных |
лученные функцией rlnorm. |
полученных функцией rlnorm. |
По коэффициенту наклона прямой, равному k 1
2σ2 2, оп-
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ределяется значение параметра σ |
1 |
|
0,5. Анаморфоза вос- |
|
|
||||
|
|
2 2 |
||
производит исходное значение параметра σ.
2.6. Обратное нормальное распределение
Плотность вероятности обратного нормального распределения:
1
f (x) eβ(x μ)2 γ .
Рассмотрим применение анаморфоз на модельных данных для обратного нормального распределения (табл.2.4), β = 0,1 , μ = 4 , γ = 0,4 (рис.2.28).
Таблица 2.4
Модельные данные для обратного нормального распределе-
ния, β = 0,1 , μ = 4 , γ = 0,4
xi |
f(xi) |
xi |
f(xi) |
xi |
f(xi) |
xi |
f(xi) |
0,4 |
1,80331 |
2,4 |
4,59234 |
4,4 |
11,06565 |
6,4 |
2,78595 |
0,8 |
2,01828 |
2,8 |
6,28544 |
4,8 |
8,62938 |
6,8 |
2,32703 |
1,2 |
2,32703 |
3,2 |
8,62938 |
5,2 |
6,28544 |
7,2 |
2,01828 |
1,6 |
2,78595 |
3,6 |
11,06565 |
5,6 |
4,59234 |
7,6 |
1,80331 |
2 |
3,49034 |
4 |
12,18249 |
6 |
3,49034 |
8 |
1,64872 |
Анаморфоза для обратного нормального распределения:
ln( 1 ) β(x μ)2 γ f (x)
Построение данных, соответствующих логнормальному распре-
делению, дает спрямление в координатах ln( 1 ) ~ (x μ)2 f (x)
(рис.2.29). Если значение параметра x0 неизвестно, то его можно определить варьированием, выбрав значение при котором данные линеаризуются на большем интервале.
Из уравнения прямой (рис.2.29) определяется значение параметра β = 0,1 и γ = 0,4. Анаморфоза воспроизводит исходные
36
значения параметров β и γ.
Рис.2.28 Функция плотности рас- |
Рис.2.29 Анаморфоза для данных |
пределения для данных табл.2.4 |
табл.2.4 |
Ниже представлена анаморфоза для обратного нормального распределения для данных табл.1.1.
Рис.2.30 Спрямляющее преобразование для данных табл.1.1
Из рис.2.30 видно, что эта совокупность лучше описывается зависимостью для обратного нормального распределения, чем для нормального распределения.
2.7. Распределение Коши
Плотность вероятности распределения Коши:
|
|
37 |
|
|
|
|
|
1 |
|
γ |
|
|
|||
f (x) |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
)2 |
γ2 |
|||
|
π (x x |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим применение анаморфоз на модельных данных для распределения Коши (табл), γ = 1,2 , x0 = 5 (рис.2.31).
Таблица 2.5
Модельные данные для распределения Коши, x0 = 4 , γ = 1,2
xi |
f(xi) |
xi |
f(xi) |
xi |
f(xi) |
xi |
f(xi) |
0 |
0,01445 |
2,5 |
0,04967 |
5 |
0,26527 |
7,5 |
0,04967 |
0,5 |
0,01761 |
3 |
0,07022 |
5,5 |
0,22603 |
8 |
0,03659 |
1 |
0,02190 |
3,5 |
0,10352 |
6 |
0,15655 |
8,5 |
0,02790 |
1,5 |
0,02790 |
4 |
0,15655 |
6,5 |
0,10352 |
9 |
0,02190 |
2 |
0,03659 |
4,5 |
0,22603 |
7 |
0,07022 |
9,5 |
0,01761 |
Анаморфоза для распределения Коши:
1 π γ π (x x0)2 |
|
f (x) |
γ |
Рис.2.31 Функция плотности рас- |
Рис.2.32 Анаморфоза для данных |
пределения для данных табл.2.5 |
табл.2.5 |
Построение данных, соответствующих распределению Коши, дает
спрямление в координатах 1 ~ (x x0)2 (рис.2.32). Если зна- f (x)
38
чение параметра x0 (в распределении Коши x0 является модой) неизвестно, то его можно определить варьированием, выбрав значение при котором данные линеаризуются на большем интервале.
По коэффициенту наклона прямой, равному π
γ (рис.2.32), опре-
деляется значение параметра γ |
π |
1,2. Анаморфоза вос- |
|
||
|
2.6179 |
|
производит исходное значение параметра γ.
Следующая анаморфоза для распределения Коши:
1 |
|
1 |
|
π |
( xi2 2 |
xi x0) |
2 |
x π |
xi, |
f (xi i) |
f (xi) |
|
|
|
|||||
|
|
γ |
|
|
γ |
||||
где Δi – заданное значение сдвига аргумента.
Построение данных, соответствующих распределению Коши, да-
ет линейную зависимость в координатах |
1 |
|
1 |
~ x |
f (xi i ) |
|
|||
|
|
f (xi) |
||
(рис.2.33).
Возможен вариант, когда варьированием сдвижки достигается такая ее величина, что Δx = 2x0. В этом случае прямая проходит через начало координат.
Рис.2.33 Анаморфоза для данных табл.2.5
По коэффициенту наклона прямой, равному 2 |
x π |
, определя- |
|
γ |
|
39
ется значение параметраγ 2 x π 1,2, а значение μ из вели- 2.6179
( x2 γ k)
чины свободного параметра x0 |
|
|
π |
5. Анаморфоза |
2 |
|
|||
|
|
x |
||
воспроизводит исходное значения параметров γ и x0.
2.8. Распределение Ципфа
Важным частным случаем распределения Коши является распределение Ципфа (Лотки, Парето, Мандельброта). Плотность вероятности распределения Ципфа:
f (x) c (x x0) γ
Рассмотрим применение анаморфоз на модельных данных для распределения Ципфа (табл. 5), ,x0 = 2, С = 3, γ = 0.4 (рис.2.34).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.6 |
|
|
Модельные данные для распределения Ципфа, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
x0 =2, С=3 , γ = 0.4 |
|
|
|
|||||
|
xi |
f(xi) |
xi |
|
f(xi) |
|
|
xi |
f(xi) |
xi |
f(xi) |
|
|
|
2,5 |
3,95852 |
5 |
1,93318 |
7,5 |
1,51697 |
10 |
1,30583 |
|
||||
|
3 |
3,0 |
5,5 |
1,81758 |
8 |
1,46508 |
10,5 |
1,27454 |
|
||||
|
3,5 |
2,55085 |
6 |
1,72305 |
8,5 |
1,41891 |
11 |
1,24573 |
|
||||
|
4 |
2,27357 |
6,5 |
1,64375 |
9 |
1,37747 |
11,5 |
1,21908 |
|
||||
|
4,5 |
2,07943 |
7 |
1,57592 |
9,5 |
1,33998 |
12 |
1,19432 |
|
||||
Анаморфоза для распределения Ципфа: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
f (x) |
|
1 |
(x x0). |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
f (x) |
|
γ |
|
|
|
|
||
Построение данных, соответствующих распределению Ципфа,
дает спрямления в координатах f (x) ~ x (рис.2.35). f (x)
По коэффициенту наклона прямой равного k 1 2.5262 опре-
γ
деляется значение параметра γ=0.4 (рис.2.35.) , а значение x0 из
40
пересечения прямой с осью X или из величины свободного па-
5,2907
раметра x0 2,5262 2.
Рис.2.34 Функция плотности распре- |
Рис.2.35 Анаморфоза для данных |
деления для данных табл.2.6 |
табл.2.6 |
Анаморфоза воспроизводитисходные значения параметровγ и x0. Дляраспределения Ципфаэффективной является такжеанаморфоза ln( f (x)) ln(c) γ ln(x x0)
Построение данных, соответствующих распределению Ципфа, дает спрямления в координатах ln( f (x)) ~ ln(x x0) (рис.2.36).
Рис.2.36 Анаморфоза для данных табл.2.6
Значение параметра x0 можно получить из предыдущей анамор-