PZMS

12

чений, s – целочисленная величина порядка момента. Центральные моменты порядка s>2 в основном применяются для характеристики распределения случайной величины несимметричной относительно математического ожидания.

Среднеквадратичное отклонение равно положительному корню из дисперсии

σ D

Для данных табл.1.1 среднеквадратичное отклонение равно 0,62. Медиана m - значение, которое случайная величина превос-

ходит с вероятностью 0,5 (рис.1.1 и рис.1.2):

m G(1). 2

Мода – значение, в котором плотность вероятности (или функция вероятности) имеет локальный максимум, то есть значение величины xi, которое встречается чаще остальных. Для данных таблицы 1 мода равна 8,62 (рис.1.3).

Функция распределения или кумулятивная функция распределения F(x) есть вероятность того, что случайная величина принимает значение, меньшее или равное х:

F(x) Prob X x pi ,

xi x

pi 1

i

где суммирование распространено на все значения индекса i, для которых xi≤x.

Функцию распределения также называют интегральной функцией. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения. Она является самой универсальной характеристикой случайной величины. Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин.

Таким образом, F(x) есть ступенчатая функция, равная постоянной на любом интервале, не содержащем точек xν, и имеющая в каждой точке xν скачок pν.

Для данных табл.1.1 функция распределения представлена на рис.1.1 и рис.1.2.

13

Рис.1.1 Функция распределения Рис.1.2 Функция распределения для данных табл.1.1 для данных табл.1.1., в виде

ступенчатой диаграммы

Другой метод получения функции распределения основан на применение обратной функции распределения. Обратная функция распределения (функция вероятности α) G(α) такое число, что случайная величина примет значение, не превосходящее α, с вероятностью G(α)

x G(α) G(F(x)), Prob X G(α) α,

где G(α) есть 100α-процентная точка.

Построение обратной функции распределения, для которой строится зависимость характеристики системы от ее номера в ранговом списке, позволяет оперировать с каждым значением исходного эмпирического ряда.

Например, для исходного ряда, представленного амплитудами ЭКГ здорового человека рис.1.3, обратная функция распределения имеет вид, представленный на рис.1.4.

Нормировка аргумента обратной функции распределения по наибольшему количеству элементов и инверсия системы координат приводят к эмпирической функции распределения, что позволяет сохранить исходную точность результатов измерения при построении теоретической функции распределения, соответствующей исходному эмпирическому ряду (рис.1.5).

Рис.1.3. Электрокардиограмма здорового человека

Плотность вероятности или плотность распределения f(x) (рис.1.6 и рис.1.7) – есть производная от функции распределения

Функция вероятности для дискретной случайной величины f(x) есть вероятность того, что случайнаявеличина принимает значение х.

f (x) Prob X x (1.2)

Другой способ получения функции плотности распределения заключается в построении гистограммы. Для этого данные группируются, т.е. указывается число значений, попавших в интервалы не-

16

Функция выживания S(x) (рис.1.9) - это вероятность того, что случайная величина примет значение больше, чем x.

S(x) Prob X x 1 F(xi)

Обратная функция выживания Z(α) - это такое значение, которое случайная величина превосходит с вероятностью α.

Prob X Z(α) α x Z(α) Z(S(x)),

где S(x) – функция выживания.

Z(α) G(1 α), где G(x) – обратная функция распределения

Функция риска (интенсивность смертности) h(x) - отношению плотности вероятности к функции выживания в точке x (рис.1.10).

Функция становится более информативной для анализа, если построить её в полулогарифмическом масштабе

(рис.1.11).

Отношение Миллса m(x) равно (рис.1.12):

m(x) 1 F(xi) 1 f (xi ) h(xi)

17

Функция становится более информативной для анализа, если построить её в полулогарифмическом масштабе (рис.1.13).

Кумулятивная функция риска H(x) является интегралом функ-

ции риска (рис.1.14).

H(xi) ln(1 F(xi))

Функция становится более информативной для анализа, если построить её в полулогарифмическом масштабе (рис.1.15).

18

2. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ПАРАМЕТРОВ. АНАМОРФОЗЫ

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются в предположении, что вся выборка принадлежит одной генеральной совокупности. В действительности построение анаморфоз для различных распределений показывает, что существуют «хвосты», которые значимо отличаются от основной части выборки. В связи с этим, построение анаморфоз позволяет уточнить характеристики математического ожидания и дисперсии, как соответствующих минимальным отклонениям от линеаризующей зависимости в анаморфозе.

Ниже представлены основные функции плотности распределения, используемые в математической статистике и теории надежности [4,5], и анаморфозы к ним.

В случаях, когда использовались значения f (xi), то они вычислялись следующим образом:

f (xi) ( f (xi i) f (xi i)).

xi i xi i

Устойчивость полученных результатов для распределений проверяется построением анаморфоз для различных значений сдвижки Δi.

2.1. Система Пирсона

К.Пирсон ввел дифференциальное уравнение, которое для большинства непрерывных распределений определяет функции плотности f(x) [6]:

где а и bi постоянные (табл.2.1).

Анаморфоза для уравнения Пирсона была введена С.Д. Давыдо-

вым [7].

Уравнение Пирсона может быть сведено к сумме гиперболы и линейной зависимости.

аблица 2.1.

Связь уравнения Пирсона с основными функциями плотности распределения

20

Пусть y(x) f (x) f (x)

Задаем на оси х точку t0 и вычисляем значения функции в обе стороны от нее:

Полусумма и полуразность, разделенная на t, уравнений (2.3) дает:

Умножив нижнее уравнение (2.4) на (t0+a) и, сложив, получим:

Спрямление уравнение (2.6) достигается в координатах: