Учебное пособие по начертательной геометрии П.В. Зелёный

1

тип задач

2 тип задач

К"

В"

4"

2о"

НвС2

m"

h"

1"

О"

С"

у

Оо"

f"

А"

2"

2"

т"

В"

3"

2

О"

f"

5

мм

А

D"

h"

1"

h

1

С"

m

f

В

m

R10

2

А"

4

2

О

А

D

С

О

3

h

h

К

Нат. вел. ЕО

1

у

z

f

Ео

В

С

Рис.

8.1

à

Рисá . 8.2

3 тип задач

Перпендикулярность плоскостей

F"

f"(

T E"F")

С"

m"

f"

D"

1"

h"

В"

С"

n"

В"

h"

х

2"

А"

Е"

Е"

х

А"

D"

Е

А

В

f'

х

1 В

А

f

Е

D

n

2

С

h"( T E'F')

F

С

D

h

h

m

â

ã

Рис. 5.5

Ëèñò 2

60

На рис. 6.1 изображена

z

наглядная картина построения

V

B"

фронтальной проекции отрезка

АВ(A"1B"1) на дополнительную

A"

zB

V1

плоскость проекций V1.

A1"

B1"

Образована

дополнитель-

zA A

B O

ная система перпендикулярных

x V

zA

zB

V1

плоскостей проекций H/V1 c но-

H

вой осью проекций x1. Обрати-

zB

те внимание, что координа-

A'

ты z фронтальных проекций

A"1 и B"1 конечных точек от-

H

B'

резка на дополнительной плос-

y

V1

кости V1 равны координатам z

Рис. 6.1

H x1

фронтальных проекций А" и В"

точек в заданной системе x-V/H. Для получения чертежа дополнительную

плоскость V1 поворачивают вокруг новой оси проекций x1 до совмещения

с плоскостью проекций H.

На рис. 6.2 показан чертеж (эпюр) произвольного преобразования от-

резка АВ общего положения д в у м я

последовательными з а м е н а -

м и плоскостей проекций, для чего выполнены следующие графические

действия:

61

B"

I з а м е н а.

A"

1-едействие. Введенапервая до-

полнительная система x1-H/V1(V1 H),

z

V

ось проекций X1 которой располо-

x H

A'

жена произвольно на поле чертежа.

B'

y

2-е действие. Построена в до-

y

A2'

полнительной плоскости проекций V1

z

B2'

фронтальная проекция A"1B"1 отрез-

ка АВ:

H

A1" B1"

H1

– проведены линии связи от го-

x1

V1

ризонтальных A' и B' проекций ко-

V1 x2

Рис. 6.2

нечных точек отрезка, перпендику-

лярные оси проекций Х1;

– от оси проекций x1 отложены координаты z, равные координатам z

фронтальных A" и B" проекций точек А и В в заданной системе x-V/H.

II

з а м е н а.

3-е действие. Введена вторая дополнительная система x2-V1 / H1 (H1 V1),

ось проекций x2 которой расположена произвольно на поле чертежа.

4-е действие. Построена в дополнительной плоскости проекций H1

горизонтальная проекция A'1 B'1 отрезка АВ:

AB – общего положения

Для преобразования прямой или плоско-

A"

сти общего положения в прямую или плос-

кость частного положения рассмотрим че-

B"

z

тыре основные задачи преобразова-

x V

ния способом замены плоскостей проекций,

применяемые как отдельные графические дей-

H

B'

A'

ствия для решения различных задач.

φH

H

Задача 1. Преобразовать прямую общего

x1 V1 z

φH

B1"

положения в прямую уровня.

1-я задача

На рис. 6.3 показано преобразование пря-

x1 // A'B'

мой общего положения АВ во фронтальную

AB // V1

A1"

Натуральная

величина

прямую уровня. Для решения задачи выпол-

62

Рис. 6.3

нен следующий графический алгоритм:

α(ABC) H

ния задачи введена дополнительная система плос-

B"

костей проекций x1-H/V1

(x1 C'D')

и выполнены

f"

аналогичные графические действия.

A"

h"

Задача 3. Преобразование плоскости общего

x

C"

положения в проецирующую плоскость.

Чтобы понять сущность графических действий

αH

этого преобразования, напомним, что у проецирую-

f'

C'

B'

щих плоскостей, перпендикулярных V или Н, од-

h'

A'

f α(ABC)

на из линий уровня – или фронталь, или горизон-

f H

таль – является проецирующей прямой.

f – горизонтально-

На рис. 6.7 показано, что у горизонтально-

проецирующая прямая

проецирующей плоскости α(ABC), горизонтальная

Рис. 6.7

проекция которой вырождается в линию, фронталь

β(CDE) V

плоскости f(f",f') занимает положение горизонталь-

βV

но-проецирующей прямой, то есть она перпенди-

h β(CDE)

кулярна плоскости проекций Н (горизонтальная

C"

h"

h V

проекция f (f') вырождается в точку).

E"

D"

На рис. 6.8 показано, что у фронтально-про-

f"

ецирующей плоскости β(CDE), фронтальная про-

x

екция которой вырождается в линию, горизонталь

D'

плоскости h(h",h') занимает положение фронталь-

f '

но-проецирующей прямой, то есть она перпендику-

C'

лярна фронтальной плоскости проекций V (ее

h'

E'

фронтальная проекция h(h") вырождается в точку).

На рис. 6.9 показано преобразование плоско-

h – фронтально-

сти общего положения во фронтально-проецирую-

проецирующая прямая

щую плоскость. Для решения задачи выполнен

Рис. 6.8

следующий графический алгоритм:

α(ABC) – плоскость общего положения

1-е

действие.

Провести

в

плоскости α(ABC) проекции го-

B"

3-я задача

ризонтали h(h",h').

h"

1"

C"

2-е действие. Ввести допол-

z

A1"

V1

нительную

систему

плоскостей

x

V

X1-H/V1, расположив ось проек-

H

A"

φH

z

C1"Ξ11"B1"

ций x1 перпендикулярно горизон-

тальной проекции h' горизонтали

A'

C'

x1 h'

плоскости.

H

V1

3-е действие. Построить в до-

x1

полнительной плоскости проек-

h'

1'

ций V1

фронтальную

проекцию

B'

A1"B1"C1" плоскости ABC по ко-

В системе x1-H/V1 плоскость

ординатам z, взятым из преды-

α(ABC) V1 – фронтально-проецирующая

Рис. 6.9

дущей системы x-V/H, (проекция

плоскости выродилась в прямую).

64

β(CDE) H – горизонтально-

На рис. 6.12 показано преобразование

проецирующая плоскость

горизонтально-проецирующей

плоскости

D"

β(CDE) во фронтальную плоскость уров-

C"

ня. Для решения задачи введена дополни-

z

тельная система x1-H/V1 и выполнены ана-

x V

E"

логичные графические действия.

H x1

H

φV

D'

Способ вращения вокруг про-

E'

V1

ецирующей оси (фронтально-проеци-

C'

E1"

z

рующей или горизонтально-проецирующей

4-я

прямой).

Сущность способа в том, что предмет,

задача

D1"

C1"

занимающий общее положение относитель-

Натуральная

но плоскостей проекций,

вращают вокруг

x1//C'E'D'

величина

проецирующей оси, и з м е н я я

его поло-

В системе x1-H/V1 плоскость

жение в пространстве так, чтобы предмет

β(CDE)//V1 – фронтальная

занял

част -

V B"

B1"

Рис. 6.12

ное

положе-

i"

n"

ние относительно тех же плоскостей проек-

ций, т. е. стал перпендикулярным (проецирую-

B1

α

щим) либо параллельным (уровня) плоскости

x

B

n

проекций H или V.

H

На рис. 6.13 показана наглядная

картина

i

способа на примере вращения точки B вокруг

αH

фронтально-проецирующей оси i.

B'

i'

B1'

Точка B перемещается в положение B1,

n' i'

вращаясь по окружности n вокруг фронталь-

Ось вращения i V

но-проецирующей оси i в некоторой плоскости

Рис. 6.13

α, перпендикулярной плоскости проекций H.

i V

На плоскость проекций Н эта окружность про-

ецируется в прямую линию n(n'), перпендику-

B"

лярную оси вращения i(i').

A" i"

Bо"

На плоскость проекций V окружность n вра-

щения

точки

B проецируется в

окружность n"

V

с центром в точке i(i"), которая является вырож-

x H

A'

денной проекцией фронтально-проецирующей оси

вращения i.

B'

На рис. 6.14 и 6.15 показаны примеры приме-

i'

Bо'

нения

способа

вращения

вокруг

проецирующей

оси для построения натуральной величины отрезка

Натуральная

AB общего положения.

величина

A"Bо" // H

На чертеже натуральную величину имеют пря-

Рис. 6.14

мые уровня, параллельные плоскости проекций H

или V (профильную прямую не рассматриваем).

66

Характерный признак прямых уровня на чертеже – одна из проекций па-

раллельна оси проекций x: горизонтальная проекция для фронтальной пря-

мой и фронтальная проекция – для горизонтальной прямой.

Следовательно, для решения задачи отрезок AB общего положения

нужно повернуть (вращать) вокруг проецирующей оси так, чтобы он занял

положение, параллельное плоскости проекций H или V.

Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Выбрать ось вращения i, проходящую через любую ко-

нечную точку отрезка (на рис. 6.14 фронтально-проецирующая ось враще-

ния проведена через точку А(A",A')), и обозначить ее проекции i(i",i') на

чертеже.

2-е действие. Повернуть фронтальную проекцию точки B(В") вокруг

оси i(i") по часовой стрелке (можно против) так, чтобы фронтальная проек-

ция отрезка AB(A"B") заняла горизонтальное положение A"Bо", параллель-

ное оси проекций x.

3-е действие. Построить натуральную проекцию A'Bо' отрезка АВ, пе-

реместив горизонтальную проекцию точки В перпендикулярно горизон-

тальной проекции оси вращения i(i') (параллельно оси проекций x) до пере-

сечения с вертикальной линией связи от точки Bо".

В результате преобразования отрезок АВ за-

Натуральная

i"

i H

нял положение горизонтальной прямой уровня.

величина

B"

!!! Конечная точка отрезка A при вращении

остается неподвижной, так как лежит на оси вра-

Aо"

A"

щения i.

V

На рис. 6.15 показано построение натураль-

x H

B' i'

ной величины отрезка общего положения AB

Aо'

вращением вокруг горизонтально-проецирующей

A'

оси аналогичными графическими действиями (от-

Aо'B' // V

резок АВ занял положение фронтальной прямой

уровня).

Рис. 6.15

полю чертежа, чтобы она последовательно заняла сначала проецирующее

положение, а затем положение плоскости уровня.

Для двух последовательных преобразований нужно выполнить сле-

дующий графический алгоритм.

Первое

перемещение.

Плоскость общего положения α(АВС)

вращением вокруг предполагаемой, например, горизонтально-проецирую-

щей оси преобразовать во фронтально-проецирующую плоскость, выпол-

нив следующие графические действия:

1-е действие. Провести в плоскости горизонталь h(h',h").

2-е действие. Повернуть горизонтальную проекцию A'B'C' треуголь-

ника, вращая вокруг предполагаемой горизонтально-проецирующей оси (на-

пример, проходящей через точку B') и одновременно перемещая вправо на

свободное поле чертежа так, чтобы горизонталь h плоскости заняла поло-

жение фронтально-проецирующей прямой, то есть h1' должна расположить-

ся перпендикулярно оси x. Повернутую проекцию треугольника A1'B1'C1'

C1"

α(ABC) H

относительно

проек-

C"

ции горизонтали h1'

B"

1"

h" φH

α(ABC)//H

построить с помощью

B1"

C2"

A2"

дуговыхзасечек, напе-

A"

ресечении которых оп-

x V

A1"

B2"

ределяютсявершины.

H

B1'

B2'

3-е действие. По-

B'

A'

строить фронтальную

проекцию A1"B1"C1"

1'

h'

C2'

C'

треугольника,

пере-

C1'

11'

местив

заданные

'

A2'

фронтальные

A"B"C"

1

A1'

h

Рис. 6.16

Натуральная

проекции вершин тре-

величина

угольника

параллель-

но оси проекций x до

пересечения с вертикальными линиями связи от точек A1', B1' и C1' повер-

нутой проекции: фронтальная проекция выродилась в линию, то есть тре-

угольник преобразовался во фронтально-проецирующую плоскость.

Второе

перемещение. Плоскость фронтально-проецирующую

вращением вокруг предполагаемой фронтально-проецирующей оси преобра-

зоватьвгоризонтальнуюплоскостьуровня, продолжаяграфическиедействия:

4-е действие. Повернуть построенную вырожденную проекцию A1"B1"C1"

треугольника, вращая вокруг предполагаемой фронтально-проецирующей

оси, проходящей через точку A1", и одновременно перемещая вправо на

свободное поле чертежа так, чтобы эта проекция расположилась парал-

лельно оси проекций x: проекция A2" B2" C2" // оси x.

5-е действие. Построить новую горизонтальную проекцию A2'B2'C2'

треугольника, переместив горизонтальные проекции A1', B1' и C1' вершин

треугольника параллельно оси проекций x до пересечения вертикальными

линиями связи от фронтальных проекций A2", B2" и C2" вершин; построен-

ная горизонтальная проекция A2'B2'C2' треугольника и есть его натураль-

ная величина, так как после второго перемещения треугольник преобразо-

вался в горизонтальную плоскость уровня.

Способ

вращения

вокруг

прямой

уровня – гори-

зонтальной или фронтальной прямой.

Сущность способа в том, что плоскость общего положения изменяет

свое положение в пространстве относительно плоскостей проекций враще-

нием вокруг линии уровня до положения, параллельного плоскости проек-

ций V (или H).

α( АВС) – плоскость

На рис. 6.17 показана наглядная кар-

Натуральная

тина вращения плоскости общего поло-

величина RC

общего положения

C

жения α(АВС) вокруг горизонтальной пря-

A

β

мой. Пусть сторона AB треугольника АВС

RC

γ//H

β h

лежит в плоскости γ, параллельной плос-

OC

B

h

кости проекций H, и является горизон-

тальной прямой h, вокруг которой и бу-

Cо

γ

дет повернута плоскость ABC.

Поскольку вершины A и B треуголь-

A'

ника лежат на оси вращения h и, следо-

C'

RC'

вательно, неподвижны, то требуется по-

B' h'

вернуть вокруг прямой уровня h только

βH

Cо'

OC'

вершину C так, чтобы она совместилась

Натуральная

с плоскостью γ.

Вершина C вращается

Натуральная

величина ABC

величина RC

H

вокруг горизонтальной прямой h (сторо-

ны АВ) в плоскости β, перпендикулярной

Рис. 6.17

оси вращения h.

После поворота треугольник ABCо лежит

Дано:

α( ABC) – плоскость

в плоскости γ и, следовательно, параллелен

общего положения

плоскости H. Точка C имеет радиус вращения

B"

Rc и на плоскость γ этот радиус проецируется

h"

OC"≡i" Cо"

в натуральную величину.

A"

1"

Rc"

Рассмотрим проекцию этой картины на

плоскость проекций H. На горизонтальной про-

h'

B'

C"

βH1

екции видно, что натуральную величину A'B'C'о

Cо

треугольника ABC определяет натуральная ве-

A'

1'

личина радиуса вращения Rc точки C.

O'c

На рис. 6.18 показано построение на чер-

βH2

Bо

i'

теже натуральной величины плоскости α(АВС)

C'

Rc' Co'

Натуральная

способом вращения вокруг горизонтальной пря-

величина ABC

мой уровня h. В этом случае выполняется вра-

Натуральная

щение горизонтальной проекции A'B'C' тре-

величина Rc

угольника, то есть вращение выполняется от-

Рис. 6.18

69