Учебное пособие по начертательной геометрии П.В. Зелёный

z

V

βV

βV

δ

Знак

D"

B"

β

B"

B

включения

C"

A"

x

A"

AB β

x

x

C'

CD δ

A

B'

B'

β

H

A'

A'

D'

δH

y

а

б

в

Проекции плоскости. Задание плоскости на чертеже. Следы плоскости.

Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Ðèñ. 3.14, à

Ðèñ. 3.14, â, ã, ä

Ðèñ. 3.15

Ðèñ. 3.14, á

Ðèñ. 3.14, â

Ðèñ. 3.15, à

Ðèñ. 3.14, á

Ðèñ. 3.15, á

Ðèñ. 3.14, ã

Ðèñ. 3.14, â, ã, ä

Ðèñ. 3.15, â

Ðèñ. 3.14, ä

Рис. 3.13

Ëèñò 1

41

1. Плоскость общего положения. Задание плоскости на чертеже.

Прямой и точкой

Пересекающимися прямыми

Паралельными прямыми

Замкнутым отсеком

m'

A"

m''

n''

B"

A"

s''

t''

C"

n'

s'

A'

C'

m'

t'

B'

m'

Рис.à3.1

(m;A)

(mnn)

(s//t)

(∆ABC)

ПлоскостиПлоскостичастногочастногоположенияположения- проецирующие

Характерные линии плоскости

2. Горизонтально-проецирующая плоскость:

H

yС

m''

B" искаж-я

yВ B'''

f''

2"

D'

B

f"

велич.

искаж-я

C"

A"

1"

h"//x

A

A"

h" A'''

велич.

горизонталь

C

3"

E"

f H

C"'

x

x

C'

A'

B'

A'

yB

f'//x

3'

E'

горизонтальный

C'

h

f'

B'

yС

v

фронталь 2'

A'

C'

h'

след плоскости

h

1'

(линия пересечения

( ABC) H

v

m-линия

D'

=h'

m'

с плоскостью

Рис.â 3.3

наибольшего

m' h'

проекций H)

ската

Рис.á3.2

3.Фронтально-проецирующая плоскость:

TV

Фронтальный след

v=f"

(линия пересечения

v

с плоскостью

n'''

V

проекции V)

v

"

m'''

искаж-я

n

велич.

=

h''

"

m"=n"

h 1''

m

m

y

x

n

x

h V

(m//h) V

y

искаж-я

m'

(m//n) V

велич.

f'

y

Рис. ã3.4

h'

n'

4.Профильно-проецирующая плоскость: TW

z

C''

v

C'''

C'''

D"

C

искаж-е

D'''

D

D'''

велич.

yE

E'''

y

x

x

E'''

E

Профильный

C'

h

( CDE) W

yE

W

след

D'

Профильный

W

E'

y

след

ä

Рис. 3.14

Ëèñò 2

42

Плоскости частного положения - уровня

5. Горизонтальная плоскость уровня:

//H( T V u

T W)

V

v

A"

B"

С" A'''

(C''')

B"

x

//H

x

y

А'

С'

Натуральная

//H

величина

B'

(ABC)//H

Рис.

3.6

à

6. Фронтальная плоскость уровня: //V( TH u

TW)

//V

Натуральная

V

величина

E'''

E"

D"

F"

D'''

(F''')

x

x

0

v

D'

E'

F'

v(DEF)//V

Рис. 3.7

á

7. Профильная плоскость уровня: //W( TH u

TV)

//W

z

Натуральная

V

B''=(A'')

z

величина

B'''

A'''

С'''

C''=(D''')

D'''

x

x

D'

(F')

//W

y

B'

(C')

(ABCD)//W

y

â

Рис. 3.15

Ëèñò 3

43

Для решения задачи следует выполнить

h" 1"

2"

b"

следующие графические действия:

m"

β

1-е действие. В заданной плоскости α, по-

n"

строить вспомогательную прямую, например,

A"

d"

n'

горизонталь h(h"h'), то есть создать в плоско-

сти пересекающиеся прямые.

m'

2'

b'

2-е действие. Через заданную точку А(A"'A')

h'

1'

провести две пересекающиеся прямые b и d,

A'

β

параллельные двум пересекающимся прямым

d'

m и h заданной плоскости α:

α(m // n); β(a ∩ b) // α

– прямую b(b",b')

параллельно прямой

Рис. 4.1

m(m"m') (или n(n"n');

– прямую d(d",d')

параллельно вспомога-

П л о с к о с т и пересекающиеся

Общим элементом пересечения двух плоскостей является прямая ли-

ния, принадлежащая обеим плоскостям.

Плоскости, как известно, могут занимать частные и общее положения

относительно плоскостей проекций, и поэтому при пересечении двух плос-

костей возможны три случая:

1-й случай – обе плоскости занимают частное положение относитель-

но плоскостей проекций. В этом случае искомой линией пересечения явля-

ется проецирующая прямая, проекция которой, вырожденная в точку, ле-

жит на пересечении вырожденных в прямые проекциях плоскостей.

На рис. 4.2 изобра-

z

αV

жены две пересекаю-

βV

щиеся фронтально-про-

V

αH

m"

ецирующие плоскости

βV

m"

α и β, элементом пере-

сечения которых являет-

α

x

ся фронтально-проеци- x

β

m

β

α

рующая прямая m (со-

ответственно,

горизон-

H

m'

тально-проецирующие

y

α V; β V

плоскости пересекаются

по горизонтально-про-

α(αV) ∩ β(βV) → m V

ецирующей

прямой).

а

б

Фронтальная

m(m") и

Рис. 4.2

вырожденная

в точку

проекция линии пересечения лежит на пересечении фронтальных, вырож-

денных в прямые, проекциях (следах) плоскостей, а горизонтальная m(m')

проекция линии пересечения – прямая, перпендикулярная оси x.

2-й случай – только одна из плос-

костей занимает частное положение от-

M"

B"

M"N"

носительно плоскостей проекций. В этом

A"

построена

случае одна из проекций искомой линии

N"

пересечения совпадает с вырожденной

проекцией плоскости частного положе-

C"

ния, а другую проекцию линии пересе-

A'

αH

α H

чения требуется построить.

На рис. 4.3 изображены две пере-

C'

секающиеся плоскости, из которых плос-

M'

кость α, заданная своим горизонталь-

M'N'

Плоскость

ным следом αh, является горизонтально-

совпадает

B'

общего положения

проецирующей, а другая плоскость, за-

со следом

плоскости α(αH)

данная треугольником ABC, – плоскость

Рис. 4.3

общего положения. Горизонтальная про-

екция MN(M'N') искомой линии пересе-

пересекающаяся с горизонтально-проецирующей прямой k(k"k'). Фронталь-

ная проекция O(О") точки их пересечения совпадает с фронтальным сле-

дом плоскости αV, а горизонтальная проекция O(O') точки их пересечения

m"

совпадает с вырожденной в

B"

точку

горизонтальной k(k')

k"

1"

αV

A"

k" ≡ O"

проекцией прямой.

n"

≡ m"

2-й случай – только один

O" α(m // n) V

C"

элемент (или прямая или

k(k"k') H

плоскость)

занимает частное

m'

k' k V

положение

относительно

A'

плоскостей проекций. В этом

k'≡O'

C'

случае одна из проекций точ-

n'

m'

1'

O'

ки

пересечения

совпадает

с

характерной

(вырожден-

B'

ной)

проекцией

элемента

α(m // n) ∩ K → O

α(ABC) ∩ k → O

частного положения, а дру-

а

б

гую проекцию точки пересе-

Рис. 4.4

чения требуется построить.

применить

вспомогательные построе-

β H

Линия

ния, чтобы

привести условие задачи

β

пересечения

к более легкому для решения 2-му слу-

B

чаю (см. рис. 4.4), то есть прямую об-

2

щего положения заменить элементом

O

C

частного положения, «заключив» эту

α

прямую в плоскость частного положе-

A

ния (см. рис. 3.12 б, в).

A'

1

B'

O'

k

На рис. 4.5 показана наглядная кар-

1'

2'

H

тина этого действия. Прямая общего по-

C'

k'

ложения k пересекается с плоскостью

общего положения α(ABC). Для решения

Вспомогательная плоскость

задачи через прямую проведена неко-

1. k

β( H)

торая вспомогательная плоскость β, то

2. α(∆ABC) ∩ β →1 – 2

есть прямая «заключена» в плоскость β.

3. k ∩ 1 – 2 → O

Определяется вспомогательная ли-

Рис. 4.5

ния 1-2 пересечения двух плоскостей –

На рис. 4.6 показано построение

H

D"

1" – 2" линия

на ч е р т е ж е

точки пересечения

k"

пересечения

O(O",O') плоскости общего положения,

4"≡5"

(фронтальная

заданной треугольником CDE, c пря-

проекция)

1" O"

2"

мой общего положения k(k",k'). Для ре-

C"

Построена

шения задачи в этом случае выполня-

E"

ется следующий графический алгоритм

3"

(графические действия):

k'

1. k α(αh)

1-е действие. Заключить прямую k

D'

2. (1 – 2) →α∩CDE

во вспомогательную, например гори-

5' 2'

3. O → (1 – 2) ∩ k

зонтально-проецирующую плоскость α,

O'

4'

E'

задав ее горизонтальным следом

αH(k α(αH)).

C'

1' – 2' линия

2-е действие. Построить проекции

1' ≡ 3'

пересечения

V

(горизонтальная

вспомогательной

линии пересечения

αH

проекция)

1-2(1"-2",1'-2') заданной плоскости

Рис. 4.6

CDE со вспомогательной плоскостью

П е р е с е ч е н и е д в у х п л о с к о с т е й о б щ е г о п о л о -

ж е н и я (3-й случай)

При задании пересекающихся плоскостей на чертеже возможны два

варианта:

а) проекции плоскостей в пределах чертежа не накладываются;

б) проекции плоскостей накладываются.

Для каждого варианта есть разные рациональные способы построения

линии пересечения.

Для варианта «а» рацио-

5"

m"

n"

нально использовать две про-

M"

6"

γV2

извольные плоскости част-

1"

2"

N"

ного положения.

k"

3"

4"E

γV1

На рис. 4.7 показан при-

l"

мер построения линии пере-

l'

сечения плоскостей общего

N'

M'

положения – α(k∩l) и β(m//n),

k'

2'

m'

проекции которых на черте-

1'

6'

n'

же не накладываются.

3'

Линия пересечения за-

5'

данных плоскостей построе-

4'

Рис. 4.7

на по точкам N и M пересе-

48

ант «б» – проекции плоскостей накладываются.

H

Построение проекций линии пересечения сводит-

γV

δV

ся здесь к построению точек пересечения двух

любых прямых одной плоскости с другой плос-

m"

костью, то есть к выполнению дважды графиче-

B"

n"

ского алгоритма построения точки пересечения

2"

прямой общего положения с плоскостью общего

K"

6"

положения, изложенного выше (см. рис. 4.6).

A"

4"

На рис. 4.8 показан пример построения ли-

1"≡5"

M"

нии пересечения плоскостей общего положения –

3"

7"

C"

α(ABC) и β(m//n), проекции которых на черте-

же накладываются.

B'

Линия пересечения построена по точкам K

2'

и M пересечения прямых m и n, которыми зада-

4'M'

на плоскость β(m//n), с плоскостью α(∆ABC), то

5'

K'

есть дважды выполнен вышеприведенный гра-

A'

фический алгоритм.

1'

I. Построить

точку K(K",K') пересечения

3'

C'

прямой m с плоскостью α(∆ABC):

6' ≡7'

V

m'

n'

1-е действие. «Заключить» прямую m во

вспомогательную

фронтально-проецирующую

Рис. 4.8

плоскость γ и обозначить ее фронтальный след γV.