Учебное пособие по начертательной геометрии П.В. Зелёный

О б з о р

некоторых кривых

поверхностей ,

их

изо -

бражение на чертеже

1. Поверхности линейчатые развертываемые.

1.1. Цилиндрическая поверхность. Образуется движением прямой ли-

нии l по криволинейной направляющей n и остающейся во всех своих поло-

жениях параллельной некоторой заданной прямой линии S (рис. 11.9).

1.2. Коническая

по-

1"

верхность.

Образуется

n

S"

2"

n"

движением

прямой

ли-

S

3"4"

нии l по криволинейной

l

l1"

5"

6"

8"

направляющей и прохо-

7"

nH

дящей во всех своих по-

x

V

lH5 lH6 lH7

ложениях

через некото-

lH

H

lH3 lH4

рую неподвижную

точ-

lH8

8'

lH2

4'

5'6'

7'

ку S, называемую верши-

lH1

nH

3'

H

ной конической поверх-

n'

2'

ности(рис. 11.10).

1'

Линия,

получаемая

След цилиндрической

l1'

при пересечении цилинд-

поверхности

S'

рической или конической

а

Рис. 11.9

б

поверхностей

с плоско-

стью, называется следом поверхности. На рис. 11.9, а и рис. 11.10, а показаны

следы этих поверхностей в пространстве.

На рис. 11.9, б показано построение на чертеже горизонтального сле-

да nH цилиндрической поверхности посредством семейства произвольно

задаваемых образующих l, параллельных прямой S, определяющей их

направление. След nH построен по точкам lH1, lH2, lH3, … , lH8, являющимся

горизонтальными следами образующих.

Для построения недостающих проекций точек, принадлежащих ци-

линдрической или конической поверхности, также используют их обра-

зующие.

11.10, б показано

S

S"

На рис.

l"

построение недостающей фрон-

тальной A" проекции точки A(A')

1"

n"

посредством промежуточной об-

n

A"

разующей l(l',l"). Вначале строят

ту проекцию образующей l, на

x V

которой находится заданная про-

H

nH

H

n'

екция A' точки, то есть в данном

A'

1'

случае – горизонтальную проек-

цию l'. Затем, используя

точку

След конической

l'

пересечения 1(1',1") этой обра-

поверхности

S'

зующей с направляющей кривой

а

б

линией n(n',n"), строят фронталь-

Рис. 11.10

191

ную проекцию l" образующей, и посредством линии связи находят искомую

недостающуюпроекциюточкиA".

1.3. Поверхность с ребром возврата (торсовая). Образуется непрерыв-

ным движением прямолинейной образующей l, во всех своих положениях ка-

сающихся некоторой пространственной кривой n. Эта пространственная кри-

Ребро возврата

вая является для данного

l"

типа

поверхностей

на-

1"

n"

правляющей. Ее называ-

ют ребро возврата.

A"

На рис. 11.11, а тор-

n

l

совая поверхность пока-

x

V

зана в пространстве и по-

казан ее след nH как ли-

lH

H

nH

ния пересечения поверх-

H

A'

ности с некоторой гори-

n'

зонтальной

плоскостью

1'

H. На рис. рис. 11.11, б

След торсовой

l'

приведен чертеж торсо-

поверхности

а

Рис. 11.11

б

вой поверхности и пока-

зано

построение

недо-

стающей горизонтальной проекции A' принадлежащей ей точки A(A").

Для

построения использовалась образующая l(l',l"), задаваемая через заданную

проекцию точки A" касательно к ребру возврата поверхности в точке 1(1',1").

2. Поверхности линейчатые неразвертываемые.

2.1. Поверхностисплоскостьюпараллелизма.

Плоскость

Цилиндроид и коноид – это поверхности, обра-

зованные движением прямолинейной образующей

параллелизма

Семейство

αV

образующих

по двум направляющим, и остающейся во всех

(задаётся)

своих положениях параллельной некоторой задан-

A"

n"

ной плоскости, называемой плоскостью паралле-

m"

лизма. В качестве плоскости параллелизма может

задаваться некоторая проецирующая плоскость (ее

Линия

след указывается на чертеже, рис. 11.12) или ого-

сечения

варивается, что плоскостью параллелизма является

однаизплоскостей проекций(рис. 11.13).

n'

Всякая плоскость, параллельная плоскости

параллелизма, пересекает цилиндроид или коно-

A'

ид по прямой линии – по образующей. Это свой-

m'

βH

ство используется при решении задач.

На рис. 11.12 показано построение недоста-

Семейство

Секущая

ющей фронтальной проекции точки A(A') на по-

образующих

плоскость

верхности цилиндроида, заданного двумя направ-

(построено)

ляющими n(n',n") и m(m',m") и фронтально-про-

Рис. 11.12

ецирующей

плоскость

αV в

качестве плоскости

192

зующей. Затем по точкам 1(1') и 2(2') ее пересечения с направляющими

строят фронтальную проекцию образующей и отмечают на ней посредством

линии связи искомую проекцию A" точки.

Название рассмотренной поверхности «гиперболический параболоид»

связано с тем, что ее фронтальный очерк (касательная кривая к фронтальным

проекциям образующих) представляет собой параболу (рис. 11.6). Такую же

форму имеет и профильный очерк данной поверхности. Кроме того, линия се-

чения данной поверхности горизонтальной плоскостью имеет форму гипер-

болы (форму гиперболы имеет также горизонтальный след поверхности, ко-

торый можно построить, если найти горизонтальныеследы ееобразующих).

2.2. Поверхностьстремянаправляющими– однополостныйгиперболоид.

Эта линейчатая поверхность образуется при перемещении прямой об-

разующей по трем скрещивающимся прямым направляющим, не параллель-

ным одной плоскости. В частном случае линейчатая поверхность с тремя

направляющими пересекается плоскостью по гиперболе; отсюда и произо-

шло ее название – однополостный гиперболоид [23] (однополостный ги-

перболоид вращения, как частный случай поверхности, может быть полу-

чен вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси или вращением прямой

линии вокруг скрещивающей с ней оси).

На рис. 11.15 приведен

чертеж фрагмента линейчатой поверхности

с тремя направляющими n(n',n"), k(k',k") и m(m',m"). Там же показаны по-

строения для определения положения недостающей проекции A' точки A(A").

l"

Воспользоваться для этого одной из обра-

зующих в данном примере не представля-

ется возможным, так как неизвестно поло-

n"

m"

жение ее фронтальной проекции, проходя-

A"

щей через заданную проекцию A" точки.

k"

Зато благодаря проецирующему положе-

αV

нию направляющей k(k',k") можно задать

горизонтальные проекции любых образу-

ющих. Воспользуемся этим и построим го-

l'

ризонтальную проекцию каркаса поверхно-

m'

сти из семейства образующих l(l'). Затем по

A'

точкам их пересечения с горизонтальными

n'

k'

проекциями n' и m' направляющих постро-

им фронтальные проекции l" этих образу-

Рис. 11.15

ющих. Далее выполним сечение поверхно-

сти фронтально-проецирующей плоскостью

αV. По фронтальным проекциям точек ее пересечения с образующими по-

строим горизонтальную проекцию кривой линии этого сечения и на ней по-

средством линии связи определим положение искомой проекции A' точки.

Структуризация материала одиннадцатой лекции в рассмотренном объ-

еме схематически представлена на рис. 11.16 (лист 1). На последующих

листах 2 и 3 приведены иллюстрации к этой схеме, компактно приведены

иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления основной части

изученного материала при повторении (рис. 11.17 и 11.18).

194

Кривые поверхности

M-2-3

M-2-4

Цилиндрические

Рис. 11. .1

Ðèñ.11.17,

à

Конические

Рис. 11.1.2

Ðèñ.11.17, ã

Рис. .2.7

Ðèñ.11.17,

á

Ðèñ.11.18

Í

Торсовые

Рис. 11. .3

Ðèñ.11.17,

â

Ðèñ.11.17,

ä

Эллипсоид -

Эллипсоид –

сжатый и

сжатый и

вытянутый

втянутый

В начертательной гео-

Ðèñ.11.17,

å

метрии принят кинема-

тическия способ обра-

зования поверхности,

когда поверхность

представляет собой

геометрическое место

(след) образующих ли-

ний, движущихся в

пространстве по на-

Линейчатые

правляющим линиям.

поверхности:

образующая - прямая

Закономерные поверх-

линия (цилиндрическая,

коническая, торсовая и

ности: образующие

т.д.)

перемещаются в прос-

транстве по некоторо-

му закону

Нелинейчатые

Незакономерные

поверхности:

образующая - кривая

поверхности:

линия (сферическая,

образующие перемеща-

эллипсоидная и т.д.)

ются в пространстве

произвольно

Рис. 11.16

Ëèñò 1

195

11.Поверхности1.1. Поверхностис однойс однойнаправляющейнаправляющей(закономерные,закономерныеразвертываемые), развёртываемые)

Цилиндрические

Конические

t"

фронтальный

S"

S"

V1"

след пов-сти

направление

(A")

t"

V2"

образующих

S"

2"

V3"

t"

1"

3"

n"

(B")

n"

x

направляющая

образующая

n'

n(n', n")

B"-?

кривая n

3'

n'

A'

S'

1'

B'

2'

S'

t'

t'

t'

S'

A'-?

à

á

Рис.

11.1.1

Рис. 11.1.2

Торс - поверхность с ребром возврата

семейство

касательных

2 1

d - ребро возврата

3

(пространственная кривая)

45 6

7

Рис. 11.1.3

â

11.1.2. Поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма

Поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма

(закономерные, неразвёртываемые)

(закономерные, развертываемые)

Цилиндроид (ф(m,n,

(

V))

Коноид (ф(m,n, (

V))

Косая плоскость -

направ-

t

"

t "

m"

")

плоскость

гиперболический

ляющие

параболоид

параллелизма

1"

V( л"n

секущая

(ф(m,n,

(

V))

плоскость

t "

V

)

l" (построена)

t

"

направ-

дан

t "

m" 1" n"

n"

ляющие

l"(

n"

t

"

V

2"

t

"

m"

3"

плоскость

n1'

на)

пареллелизма

l'

t

'

да

(

1'

3'

l'

t

'

построена

2'

m'

n'

t

'

2'

V

m'

t '

1'

n'

семейство

n'

t '

линия

семейство

t '

t '

семейство

образующих

пересечения

образующих

l'-?

образующих

l"-?

(л'п'-построена)

Рис. 11.1.4

Рис. 11.1.5

Рис.

11.1.6

ã

ä

å

Рис. 11.17

Ëèñò 2

196

направляющие

c'

b'

Кривая

B

гательной секущей поверхности ис-

линия

k

пользовалась плоскость и строилась

O

прямая линии пересечения ее с задан-

α

C

ной плоскостью, а искомая проекция

B'

точки пересечения определялась как

A

k' α'

место пересечения этой линии с за-

A'

данной прямой.

C'

На рис. 12.1–12.3 проиллюстри-

Проекция

H

рован тот же алгоритм применительно

кривой линии

к построению точки пересечения кри-

Рис. 12.1

вой линии k с плоскостью α(∆ABC).

В качестве секущей поверхности в дан-

Вспомогательная секущая цилин-

ном случае следует использовать про-

дрическая поверхность

ецирующую цилиндрическую поверх-

β H

ность, в частности, горизонтально-про-

β

B

Линия

ецирующую β(βH) H, в которуюдолж-

Кривая

k

пересечения

на быть заключена кривая k(k",k'). Для

линия

O

2

этого на чертеже (рис. 13.3) обознача-

α

C

ем горизонтальный след этой поверх-

1

ности βH. Горизонтальная проекция

A

B'

k'≡βH

линии ее пересечения с заданной плос-

A'

O'

2'

костью α(∆ABC) совпадает с ним, рас-

1'

Совпадающие

C'

полагаясь между точками 1'-2'. Для

H

построения ее фронтальной проекции

со следом βH

плоскости

воспользуемся произвольными вспо-

проекции k'

1. k β( H)

могательными прямыми линиями, при-

кривой линии

и 1' – 2' линии

2. α(∆ABC) ∩ β →1 – 2

надлежащими плоскости. Вначале за-

пересечения

3. k ∩ 1 – 2 → O

даем их горизонтальные проекции, на-

Рис. 12.2

пример, через вершину C. Затем по

198