Учебное пособие по начертательной геометрии П.В. Зелёный

Построение эллипсов в аксонометрии смотри в учебном пособии "Краткий курс начертательной геометрии" автора Белякова Е.И., Зелёный П.В., изда-

тельствоПостроение"Минк 2010эллипсовг." илиíàв учебникахаксонометрическихпо черчениюпроекцияхи инженернойсмотритеграфикетакже. в учебных пособиях [2, 6] или в учебных изданиях по инженерной графике других авторов.

Ëèñò 3

Рис. 10.15

181

Лекция 11

КРИВЫЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ

КРИВЫЕ ЛИНИИ. ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

О б щ и е с в е д е н и я о к р и в ы х л и н и я х : о п р е д е л е - н и я , к л а с с и ф и к а ц и я , т е р м и н ы

Кривую линию можно представить как траекторию движущейся точки

впространстве [12]. Примером служат, например, спираль Архимеда, цилин-

дрическая или коническая винтовая линия (рис. 11.7, а и б и рис. 11.8, а).

Кривая линия может быть получена в результате пересечения поверхностей между собой или пересечения кривой поверхности плоскостью. На поверхности конуса в зависимости от положения секущей плоскости образуется ряд кривых линий – эллипс, гипербола, парабола, окружность

(см. рис. 7.11–7.15). Эллипс или окружность получаются также в сечениях плоскостью цилиндра (см. рис. 7.7 и 7.8) и кругового однополостного гиперболоида. Осевыми сечениями однополостного гиперболоида являются гиперболы (см. рис. 7.29, а), а параболоида – параболы (см. рис. 7.29, а).

Кривые линии могут быть плоскими и пространственными (линиями двоякой кривизны). Примерами плоских кривых линий являются окружность, эллипс, парабола, спираль Архимеда, пространственных – винтовые линии, линии пересечения кривых поверхностей.

Пространственная линия всегда проецируется в виде кривой, а плоская – только при условии, что ее плоскость не перпендикулярна плоскости проекций (если перпендикулярна – проецируются в виде прямой).

Линия считается закономерной, если в своем образовании она подчинена какому-либо геометрическому закону, а если при этом она определяется в декартовых координатах алгебраическим уравнением, ее называют алгебраической. Степень уравнения определяет «порядок» кривой. Так, например, эллипс – кривая второго порядка. Проекция кривой сохраняет ее порядок или оказывается кривой более низкого порядка.

Если кривая не определяется алгебраическим уравнением, то она от-

носится к числу трансцендентных.

Касательная прямая к кривой линии в общем случае проецируется

ввиде касательной к проекции этой кривой. Так, например, касательная

кокружности в некоторой точке проецируется в касательную к эллипсу, являющемуся проекцией этой окружности.

Если в каждой точке кривой можно построить только одну касательную прямую линию, то кривая называется плавной или монотонной.

Такая плоская кривая в каждой ее точке имеет только одну нормаль – прямую, перпендикулярную к соответствующей касательной в каждой точке кривой и принадлежащую плоскости.

182

чек A(A',A") и B(B',B"), C(C',C") и D(D',D"), при-

надлежащих кривой l(l',l"), лежат на разных линиях связи. Следовательно, эти прямые не лежат в одной плоскости, являясь скрещивающимися. Поэтому не лежат в ней и соединяемые ими точки кривой, свидетельствуя о том, что эта линия – пространственная кривая.

Цилин дрические и конические винтовые лин ии Из пространственных кривых в технике находят широкое применение винтовые линии и поверхности. Винтовую линию можно рассматривать

как результат перемещения точки по поверхности вращения.

Гелисой называют винтовую линию, которая образуется в результате равномерного вращения точки вокруг оси и одновременного перемещения с постоянной скоростью вдоль нее.

Величину P перемещения точки вдоль направления оси, соответствующем одному ее обороту вокруг оси, называют шагом винтовой линии.

Для построения проекции винтовой линии, в частности гелисы, предварительно строят проекции прямого кругового цилиндра (рис. 11.7, б).

Окружность основания цилиндра (горизонтальная проекция гелисы) делят на равное количество равных частей (например, на 12, так как это можно сделать тем же раствором циркуля, которым была вычерчена окружность). На такое же количество частей делят цилиндр по высоте, равной шагу винтовой линии, на фронтальной проекции. Из точек, отмеченных на окружности, проводят вертикальные линии связи до их пересечения с горизонтальными линиями, проведенными из соответствующих точек деления шага. Соединив полученные точки плавной кривой линией, получают фрон-

184

тальную проекцию винтовой линии (линия изображена с учетом ее видимости на поверхности цилиндра, рис. 11.7, б).

Различают правые и левые винтовые линии. Изображенная на рис. 11.7, б цилиндрическая винтовая линия является правой. Она характеризуется тем, что при вращении по часовой стрелке точка удаляется от наблюдателя, а при вращении против часовой стрелки – приближается. Если эти условия не соблюдаются, винтовая линия называется левой.

На рис. 11.7, б справа показано построение развертки винтовой линии. Там же приведена формула для определения крутизны винтовой линии.

На рис. 11.8, а приведена коническая винтовая линия, которая образуется в результате движения точки по поверхности конуса при условии, что она равномерно вращается вокруг оси конуса и движется вдоль нее с постоянной скоростью. Судя по направлениям этих ее движений – это также правая винтовая линия. Для построения ее проекций горизонтальные проекцию окружностей оснований приведенного усеченного конуса делят на 12 равных частей и, соединяя их, строят горизонтальные проекции образующих конуса. Определив фронтальные проекции полученных точек посредством линий связей, строят фронтальные проекции образующих. Затем делят конус по высоте (равна шагу винтовой линии) на то же количество частей горизонтальными линиями и отмечают точки их пересечения с фронтальными проекциями образующих. Соединив найденные точки плавной кривой линией, получают фронтальную проекцию конической винтовой линии (линия изображена с учетом видимости ее на поверхности конуса, рис. 11.8, а). Далее, опуская из этих точек линии связи, отмечают на пересечениях с горизонтальными проекциями соответствующих образующих точки, через которые пройдет горизонтальная проекция конической винтовой линии. По форме она представляет собой спираль Архимеда. Там же, на рис. 11.8, а, показаны дополнительные построения по определению горизонтальных проекций 3' и 9' точек винтовой линии на образующих, не пересекаемых линиями связи, а сливающихся с ними. Графически показано, как поделены горизонтальные проекции этих образующих на отрезки в том же отношении, в котором поделены их фронтальные проекции винтовой линией (для уменьшения количества построений указанное деление обоих отрезков совмещено в одном построении).

Винтовые поверхности – прямой и косой геликоиды При винтовом движении отрезка линии образуются винтовые поверхности. В зависимости от формы образующей линии, винтовые поверхности могут быть линейчатыми и нелинейчатыми. Они находят большое применение в технике, особенно в машиностроении и поэтому заслуживают

отдельного внимания.

Все точки образующей при винтовом движении описывают винтовые линии (за исключением точки, находящейся на оси вращения поверхности), каждая из которых может служить направляющей поверхности. Линейчатые винтовые поверхности называют геликоидами. В зависимости от положения

185

образующей относительно оси вращения геликоиды могут быть прямыми (образующая перпендикулярна оси) и косыми (образующая наклонена к оси).

Чертеж прямого геликоида приведен на рис. 11.8, б. Построение его проекций вначале повторяет построения цилиндрической винтовой линии, приведенные на рис. 11.7, б. Но вместо фронтального очерка цилиндра необходимо показать фронтальные проекции образующих винтовой поверхности. Эти проекции представляют собой горизонтальные отрезки, расположенные между осью вращения поверхности и фронтальной проекцией винтовой линии. Фронтальный очерк прямого геликоида образуют указанная винтовая линия, являющаяся проекцией траектории движения внешнего конца образующей, и проекция траектории движения ее внутреннего конца, совпадающая с фронтальной проекцией оси вращения образующей. Направление геликоида определяют так же, как и винтовой линии.

Чертеж косого геликоида, образованного наклонной прямолинейной образующей за 1,5 оборота винтового движения, приведен на рис. 11.5 и повторен на рис. 11.8, в.

3

Рис. 11.5

Исходным условием для построений его чертежа является шаг винтового движения образующей и ее начальное положение под углом φ к оси вращения (рис. 11.5). В процессе движения образующая должна оставаться па-

186

раллельной поверхности направляющего конуса высотой H. Для построения 18 фронтальных проекций образующей, равномерно расположенных на протяжении 1,5 шага поверхности, используют вспомогательную сетку. При этом расстояние H между концами каждой образующей, измеренное вдоль оси вращения, должно быть постоянным. Затем проводят огибающие кривые очерковые линии, касательные к проекциям образующих, и строят торцевые срезы рассматриваемого участка косого геликоида профильными плоскостями. Профильные проекции этих срезов представляют собой спирали Архимеда. Проекции A"' и B"' точек, принадлежащих образующей в ее третьем и девятом положениях, могут быть определены путем дополнительных построений, основанных на графическом делении отрезков в заданном отношении.

Построение недостающей профильной проекции K"' и недостающей фронтальной проекции O2" точек K"(K"') и O(O2"'), принадлежащих винтовой поверхности, показано на том же чертеже (рис. 11.5). В первом случае использовалась линия m сечения поверхности профильной плоскостью