Учебное пособие по начертательной геометрии П.В. Зелёный

Для построения более точной развертки следует вычислить по форму-

ле (2) (рис. 9.6, где R – радиус основания конуса; L – длина образующей

конуса) угол развертки и разделить дугу развертки на 12 равных частей,

провести образующие и далее выполнить 3 и 4 действия алгоритма.

На рис. 9.7, а дан чертеж поверхностей кругового цилиндра и кругового

конуса, описанных вокруг сферы, и построена линия пересечения этих по-

верхностей по теореме Г. Монжа. На рис. 9.7, б построена развертка кони-

ческой части этой конструкции по следующему графическому алгоритму:

1-е действие.

Провести

произ-

Ц

вольное

сечение,

перпендикулярное

3о

2о

1о

0i

оси конуса, и повер-

ik"

4о

нуть половину ок-

5о

2" K"

1"

0"

ружности

сечения

3"

6о

в очерковую плос-

6"

5"

4"

3

2

1

0о

кость конуса.

5О"

4

хорда

симметрии

2-е

действие.

4О"

1о

0о

5

3О"О

"

2о

2

6

Разделить

окруж-

1О"

4о

3о

1

нат. вел.

5о

ие

Линия

ность сечения на 6

образующих

н

6о

2

ече

е

частей и перенести

о

с

н

3

ь

ол

ое

5

зв

4

точки

1-6

парал-

и

н

о

ь

р

л

п

а

м

е

ь)

ор

н

и

ст

хорда

лельно

оси конуса

ен

ч

о

е

н

S

с

уж

кр

о

на линию

сечения

(

(проекцию

окруж-

а

S"

б

ности), то есть по-

Рис. 9.7

строить точки 1о-6о.

3-е действие. Через вершину конуса S(S") и точки 1о-6о провести об-

разующие конуса до пересечения с проекцией линии пересечения с проек-

цией линии пересечения цилиндра и конуса О1"-6".

4-е действие. Вращением построенных образующих вокруг оси кону-

са перенести точки 1о"-5о" на очерковую образующую S"-6", имеющую на

чертеже натуральную величину.

5-е действие. На свободном поле чертежа провести радиусом R=S"Оо

дугу и отложить на этой дуге шесть отрезков-хорд, на которые было поде-

лено сечение конуса.

6-е действие. Через точку S на развертке и построенные точки Оо-6

провести семейство образующих.

7-е действие. Отложить от точек Оо-6 на каждой образующей развертки

соответствующие натуральные величины образующих, взятые с чертежа,

то есть отрезки 6о-1о, 6о-2о и т. д.

8-е действие. Построенные на концах семейства образующих точки

соединить плавной кривой и оформить чертеж развертки (построена поло-

вина развертки).

6-е действие. Оформить чертеж развертки, соединив построенные точ-

ки развертки лекальными прямыми.

У с л о в н ы е р а з в е р т к и п о в е р х н о с т е й

Условные развертки можно выполнить для некоторых неразвертыва-

ющихся поверхностей.

Рассмотрим построение условных разверток неразвертывающихся по-

верхностей сферы и открытого тора (кругового кольца).

Развертка сферической поверхности

На рис. 9.9 показано построение условной развертки сферической по-

верхности.

Поверхность сферы

хордам

А

условно разрезают на ка-

1

Очерк сферы совпадает с

кое-то количество частей

по

очерком описанного цилиндра

1"

АО"

дуги

2

(6, 12 и более) и каждую

2"

3

3"

часть заменяют (аппрок-

Развертка

хорда

4

4"

1/6 доля

А

симируют)

цилиндриче-

5

5"

развертки

ской описанной поверх-

6"

0

1

ностью, фронтальная про-

Со 6"

2

хорда

екция которой совпадает

3

с фронтальным очерком

4

сферы – окружностью.

Во

6о

5

6о

Далее

выполнятся

Со 6

развертка одной доли по-

верхности сферы как сек-

6о'

2о

тора цилиндрической по-

1о

1/6 сферы

верхности по следующе-

Со 6'

5' 4' 3' 2' 1'

А'

му графическому алго-

2о

1о

ритму:

6о'

В

1-е действие. На го-

ризонтальной

проекции

разрезать

поверхность

сферы на 6 частей и рас-

Описанные

смотреть эту

1/6 часть

цилиндры

(сектор) как фронтально-

Рис. 9.9

проецирующий цилиндр,

описанный вокруг сферы.

2-е действие. Разделить дугу очерковой окружности А0В0 сферы, ко-

торая совпадает с окружностью описанного цилиндра, на 12 частей (по-

скольку есть симметрия, рассматриваем дугу А0С0) и заменить участки

хордами (то есть вписать 12-угольную призму) – А0"-1", 1"-2" и т. д.

3-е действие. Спроецировать точки 1"-6" на стороны взятого сектора

его горизонтальной проекции.

4-е действие. Свободном поле чертежа провести вертикальную линию

и отложить от точки С0 вверх и вниз по 6 отрезков, равных величине хорд

(точки пронумеровать).

5-е действие. Через каждую построенную точку А-6 провести гори-

зонтальные линии и на каждой отложить величину соответствующей обра-

зующей: 10-10, 20-20 и т. д.

6-е действие. Конечные точки соединить лекальной кривой.

Таким образом построена 1/6 доля условной поверхности сферы, а 6 та-

ких долей составят развертку всей поверхности.

С увеличением количества долей (1/12, 1/24 и т. д.) точность разверт-

ки увеличивается.

Развертка поверхности открытого тора

На рис. 9.10 показана условная развертка поверхности открытого тора.

Поверхность кольца разрезают на какое-то количество долей (6, 12

и более) плоскостями, проходящими через его ось i", и заменяют каждую

долю (сектор) поверхно-

описанный

цилиндр

сти описанной цилиндри-

ческой поверхностью.

Далее выполняют раз-

1/6 развертки

6

6о

вертку одной доли поверх-

1о

поверхности тора

5

ности

по

графическому

0о

2о

5о

алгоритму,

приведенному

3о

4

4о

4о

для построения развертки

1/6 тора

5о 6о

3

3о

одной

доли

поверхности

i"

2

сферы.

0

1

2

3

4

5

6

2о

На рис. 9.11 приведен

1

1о

чертеж построения части

0

0

0

(правой) развертки комби-

0о

нированной

геометриче-

ской поверхности, состоя-

щей из трех полых цили-

ндров,

сообщенных двумя

коническими рукавами, в

0'

6'

котором подытоживается

1'

5'

изученный материал дан-

хорда

2'

4'

ной темы.

Показано, что

3'

Очерк образующей тора

развертка

каждой

части

совпадает с поверхностью

цилиндра

комбинированной поверх-

Рис. 9.10

ности строится отдельно.

Структуризация материала девятой лекции в рассмотренном объеме

схематически представлена на рис. 9.12 (лист 1). На последующих листах

2–5 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального за-

крепления изученного материала при повторении (рис. 9.13–9.16).

Развертки поверхностей

Ðèñ. 9.13, à

Ðèñ. 9.16, á

Ðèñ. 9.13, á

Ðèñ. 9.15, à

Ðèñ. 9.15, á

Ðèñ. 9.14

Ðèñ. 9.16, à

Ëèñò 1

Рис. 9.12

157

S"

i"

Н.в. ребер

Н.в. SA

К"

1О

КО"

МО"

В"

А"

С"

О

mО

О

"

m"

С "

В

А'

М'

S'

i'

СО'

mО

ВО'

m'

В'

К'

N' 1'

à.

Н.в. SA

Линии сгиба

А

S

Графический алгоритм построения развертки

поверхности пирамиды:

М

1. Построить натуральные величины всех

ребер пирамиды (способом вращения вокруг

m

К

проецирующей оси).

2. Выполнить развертку поверхности,

В

N 1

построив по натуральным величинам ребер

треугольники граней и основание.

3. Соединить отрезками построенные на

Геодезическая

С

развертке вершины и оформить линии сгиба.

линия

осн.

А