Учебное пособие по начертательной геометрии П.В. Зелёный

1-е сечение. Плоскость сечения на расстоянии t1 от оси тора образует на его поверхности кривую линию – овал с двумя осями симметрии (для плоскостей между точками A и B, то есть R ≤ t1 < R2).

2-е сечение. Плоскость сечения на расстоянии t2 от оси тора образует на его поверхности в о л н о о б р а з н у ю кривую (для плоскостей между точками B и C, то есть R1 < t2 < R).

3-е сечение. Плоскость сечения на расстоянии t3 от оси тора образует на его поверхности двухлепестковую кривую (для плоскости, проходящей через точку C, то есть t3 = R1).

4-е сечение. Плоскость сечения на расстоянии t4 от оси тора образует на его поверхности два овала с одной осью симметрии (для плоскостей ниже точки C и не проходящих через ось вращения тора i(i"), то есть когда t4 < R1).

На рис. 7.22, б изображена фронтальная и горизонтальная проекции открытого тора, у которого R = 2r (частный случай). Кривые сечений этого тора называют овалами Кассини, а двухлепестковая кривая в сечении 3

называется лемнискатой Бернулли.

Построение проекций открытого тора со срезами плоскостями частного положения

На рис. 7.23 показан пример построения проекций отрытого тора с комбинированным срезом фронтально-проецирующей плоскостью α(αV) и горизонтальной плоскостью β(βV).

110

Для построения проекций тора со срезами следует выполнить предлагаемый графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач:

1-е действие. Построить на чертеже тонкими линиями по заданным размерам фронтальную, горизонтальную и профильную проекции тора без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции (или любой другой) заданные по условию срезы фронтально-проецирующей плоскостью α(αV) и горизонтальной плоскостью β(βV).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки и выполнить графоаналитический анализ сечений:

2.1. Фронтально-проецирующая плоскость α(αV) пересекает поверхность тора по участку волнообразной кривой 1-2-3 (сечение 2), часть которой ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией пересечения 3-3 плоскостей среза α и β.

2.2. Горизонтальная плоскость β(βV) пересекает поверхность тора по участку двухлепестковой кривой 3-4-5 (сечение 3).

!!! Поскольку горизонтальная проекция тора имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной его половине (нижней).

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию тора, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям отмеченных точек и определить видимость плоскостей срезов.

3.1. Горизонтальная проекция видимого участка волнообразной кривой в плоскости α построена по проекциям обозначенных точек 1(1'), E(E'), 2(2') и 3(3') по их принадлежности характерным n1, t1 и t2 (точки 1 и 2) и вспомогательным (точки Е и 3) параллелям.

3.2. Горизонтальная проекция видимого участка двухлепестковой кривой в плоскости β построена по проекциям обозначенных точек 3(3'), 4(4'), D(D') и 5(5') по их принадлежности характерным t1, t2 и n1 (точки 4 и 5) и вспомогательным (точки D) параллелям (точки 3(3') уже построены).

3.3. Видимый отрезок 3-3(3'-3') – горизонтальная проекция линии пересечения плоскостей срезов α и β, ограничивающая участки кривых в плоскостях срезов.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции тора для определения ее очерка и внутреннего контура.

4.1. Горизонтальный очерк определяют:

–видимые половины окружностей m(m');

–участки очерковых параллелей t1(t1') и t2(t2'), не существующие между точками 4(4') и 2(2');

–участки кривых 4'-3' и 3'-2'.

4.2. Внутренний контур определяют:

–невидимые половины окружностей m(m');

–видимые участки кривых 4'- D'-5' и 2'- E'-1';

–видимый отрезок 3'-3' пересечения плоскостей срезов α и β.

111

5-е действие. Достроить профильную проекцию тора, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек и определить видимость плоскостей срезов:

5.1. Профильная проекция видимого участка волнообразной кривой построена по проекциям обозначенных точек 1(1'"), E(E"'), 2(2'") и 3(3'") по их принадлежности характерным параллелям n1, t1 и t2 (точки 1(1'")

и 2(2'")) и по координатам y (точки E(E"') – yE, 3(3'") – y3).

5.2. Профильная проекция горизонтальной плоскости среза β проецируется в видимый горизонтальный отрезок 4"'-4"' (точки 4(4"') – на очер-

ковых линиях t1 и t2).

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции тора для определения ее очерка и внутреннего контура:

6.1. Профильный очерк определяют:

–слева и справа – проекции очерковых параллелей t1(t1') и t2(t2') до точек 2(2'");

–сверху – видимый участок 2'"-E"'-1'" волнообразной кривой;

–снизу – видимые совпадающие проекции образующих окружностей m(m'").

6.2. Внутренний контур определяют:

–видимый горизонтальный отрезок 4"'-4'" (проекция плоскости среза β);

–видимые участки 2"'-4'" волнообразной кривой;

–невидимая часть окружности mW(mW"') между точками 2"'.

7-е действие. Оформить чертеж тора, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимый внутренний контур каждой проекций (оставить тонкими линиями полные очерки проекций и линии построений).

Структуризация материала седьмой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 7.24 (лист 1). На последующих листах 2–6 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления основной части изученного материала при повторении (рис. 7.25–7.29).

112

5.2.6 Построение сечений поверхности открытого тора плоскостями частного положения

Ëèñò 5

Рис. 7.28

117

119