физика задачи

6.13Сплошной диск массой 0,2 кг вращается вокруг оси, про­ ходящей через его центр масс под действием момента сил

(р= 5,0 -1,0/ + 2,0/ 2 (рад). Определить радиус диска. От­

вет. R - 0,14 м.

6.14Колесо, вращаясь равнозамедленно при торможении,

М= 0,42 Н-м; А = 631 Дж; N = 240.

6.15Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте 900 об/мин. После выключения вентилятор, вра­ щаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 об. Рабо­ та сил торможения А - 44,4 Дж. Найти: 1) момент инер­

ции вентилятора; 2) момент сил торможения. Ответ.

/ = 0,01 кг-м2; АГ= 9,4 10"2Н м.

6.16Маховое колесо, имеющее момент инерции /= 245 кг-м2, равномерно вращается, делая 20 об/с. После того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно ос­ тановилось, сделав 1000 об. Найти: I) момент сил трения; 2) время, прошедшее от момента прекращения действия вращающегося момента до остановки колеса. Ответ.

Мтр= 308 Н-м; t = 100 с.

6.17Маховое колесо начинает вращаться с постоянным угло­

вым ускорением s = 0,5 рад/с2 и через t\= 15 с после нача­ ла движения приобретает момент импульса L = 73,5 кг-м2/с. Найти кинетическую энергию колеса че­ рез ti —20 с после начала вращения. Ответ. WK—490 Дж.

6.18 Маховик вращается с постоянной скоростью, соответст­ вующей частоте п - 1 0 об/с; его кинетическая энергия W* = 7,85 Дж. За какое время вращающий момент

80

М ~ 50 Н м, приложенный к этому маховику, увеличит угловую скорость маховика в два раза? Ответ, t —5 мс.

6.19Человек катит обруч без проскальзывания по горизон­ тальной поверхности со скоростью v = 2,0 м/с. По инер­ ции обруч может вкатиться на горку с углом наклона 30°

кгоризонту. На какое расстояние S вкатится обруч? От­

вет. S = 0,8 м.

6.20На какую высоту вкатывается по наклонной плоскости обруч, если у основания линейная скорость точек на об­ руче 5 м/с. Ответ. А = 2,5 м.

6.21Шар и сплошной цилиндр одинаковой массы, изготов­ ленные из одного и того же материала, катятся без сколь­ жения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра. Ответ. В 1,07 раза.

6.22Полная кинетическая энергия WK диска, катящегося без проскальзывания по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определить кинетическую энергию Щ поступа­ тельного и Wi вращательного движения диска. Ответ.

W, = 16 Дж, Wi = 8 Дж.

6.23 К ободу однородного сплошного диска массой т= 1 0 ,0 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила F = 30,0 Н. Определить кинетическую энергию диска через время t —4 с после начала действия силы. Ответ. WK- 1,4 кДж.

6.24Вентилятор вращается с частотой п = 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедлеино и, сде­ лав N = 50 оборотов, остановился. Работа сил торможения

А- 31,4 Дж. Определить: 1) момент М сил торможения;

2)момент инерции I вентилятора. Ответ. М = 0,1 Н-м; 1= 16,0 кг-м2.

6.25 К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении диска на него действует момент

81

сил трения Mw = 2 Н м. Определить массу т диска, если известно, что его угловое ускорение е постоянно и равно 16 рад/с2. Ответ, т —24 кг.

6.26Маховик в виде сплошного диска, момент инерции кото­ рого /= 1,5 кг-м2, врадцаясь при торможении равнозамед­ ленно, за время t = 1 мин уменьшил частоту своего вра­ щения с щ = 240,0 об/мин до щ - 120,0 об/мин. Опреде­ лить: угловое ускорение 8 маховика; момент М силы тор­

можения; работу сил торможения А. Ответ, е = =: 0,21 рад/с ; М = 0,32 Н-м; А = 355,0 Дж.

7-8 баллов

6.27По ободу шкива, надетого на общую ось с маховым коле­ сом, намот ана нить, к концу которой подвешен груз масссой т = 1,0 кг (рис. 6.2). На какое расстояние должен опуститься груз, чтобы коле­ со со шкизом получило ско­

рость, соответствующую частоте 60 об/мин? Момент

инерции колеса со шкивом 0,42 кг-м2, радиус шкива 10,0 см. Считать радиус махового колеса равным ра­ диусу шкива. Ответ, h - 0,87 м.

6.28К ободу диска массой т = 5,0 кг, закрепленного на гори­ зонтальной оси, приложена постоянная касательная сила F - 19,6 Н. Какую кинетическую энергию будет иметь диск через At = 5 с после начала действия силы? Ответ. WK= 1,9 кДж.

6.29На какой угол надо отклонить однородный стержень, подвешенный на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня, чтобы нижний конец стержня при прохождении им положения равновесия имел ско­

82

рость 5 м/с? Длина стержня 1м. Ответ. cosa = 0,15; a = 81°20'.

6.30Диск массой т = 300 г и радиусом г = 10,0 см вращается относительно оси, проходящей через его центр масс, та­ ким образом, что изменение угла поворота происходит по закону ф = 5,0 - t1 + 6,0^ (рад). Найти, какую работу со­ вершает над телом момент внешних сил за промежуток времени от tx= 1 с до t2= 1,4 с. Ответ. А = 0,6 Дж.

момент внешних сил за промежуток времени от t\ — 1 , 2 с до t2= 1,3 с. Ответ. А = -2,0-10‘3 Дж.

6.32Некоторое тело катится без скольжения со скоростью v =

=2,5 м/с по горизонтальной плоскости. По инерции оно

вкатывается на горку с углом наклона a = 1 0 ° к горизонту и проходит расстояние S= 2,57 м. Определить вид тела (шар, обруч, диск или сплошной цилиндр). Ответ. Ш ар.

6.33Колесо радиусом R = 30 см и массой т = 3,0 кг скатывает­ ся без проскальзывания по наклонной плоскости длиной

сти составила 4,6 м/с. Ответ. / = 0,26 кг м2.

6.34Какую скорость должен иметь центр масс шара, катяще­ гося без скольжения, чтобы подняться по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30°, на высо­ ту 2 м, если сила сопротивления равна 0 ,2 силы тяжести, действующей на шар? Ответ, v - 6,26 м/с.

6.35На однородный сплошной цилиндрический вал (рис. 6.3) радиусом R = 50 см намотана легкая нить, к концу кото­ рой прикреплен груз массой т —6,40 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением а = 2,00 м/с2. Определить:

83

5) тангенциальное (аг) и нормальное (а„) ускорения точек, находящихся на поверхности вала. Ответ. S = 0 ,8 2 /2 м;

9-10 баллов

6.37На горизонтальном столе расположен цилиндр массой т, на который намотана нить. К свободному концу нити, пе­ реброшенному через легкий блок (см. рис. 6 .2 ) , подвешен груз такой же массы т. Найти ускорение груза и силу трения между цилиндром и столом. Цилиндр считать сплошным телом, которое катится без скольжения. От­

вет. а= (8/11) g; F= (1/11) mg.

6.38Стержень массой т = 75,0 кг и длиной / = 18,0 см враща­ ется относительно оси, проходящей через его центр масс, таким образом, что изменение угла поворота происходит по закону ф = 2,5 + 6 ,0/3 - 2,0/ (рад). Найти, какую работу

84

совершает над телом момент внешних сил за промежуток времени от t\~ \ ,2 с до (г = 1,4 с. Ответ. А = 54,2 Дж.

6.39Однородный стержень длиной 85 см подвешен на гори­ зонтальной оси, проходящей через верхний конец стерж­ ня. Какую наименьшую скорость надо сообщить нижнему концу стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси? Ответ, v = 7,1 м/с.

6.40Сплошной однородный диск скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей уг ол а с горизон­ том. Определить линейное ускорение а центра диска. От-

6.41На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом

R = 2 0 см, момент инерции которого I ~ 0,15 кг-м2, намо­ тана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m - 0,50 кг. До начала вращения барабана высота h груза над полом составляла 2,3 м. Определить: 1) время опус­ кания груза да пола; 2 ) силу натяжения нити; 3) кинетиче­ скую энергию груза в момент удара о под. Ответ, t = 2 с;

Г = 4,32 Н; WK= 1,35 Дж.

6.42Маятник Максвелла пред­ ставляет собой массивный диск радиусом R и массой m, жестко надетый на ось радиу­ сом г. Ось подвешивается на двух нитях, намотанных на нее (рис. 6.4). В свободном состоянии маятник совершает возвратно-поступательное движение в вертикальной

плоскости при одновременном вращении диска вокруг оси. Определить: 1) ускорение поступательного движения маятника; 2) силу натяжения нити. Силы сопротивления и момент инерции оси маятника не учитывать. Ответ,

85

/( 2 г 2)

6.43Однородный шар радиусом г = 20 см скатывается без скольжения с вершины сферы радиусом R = 50 см. Опре­

делить угловую скорость со шара после отрыва от поверх­ ности сферы. Сопротивление воздуха не учитывать. От-

Ю g(R + r)

7.ГИДРОДИНАМИКА

Краткие теоретические сведения

Уравнение неразрывности несжимаемой струи

Sv = const,

где S - площадь поперечного сечения трубки тока; v - средняя скорость жидкости по сечению S .

Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной

несжимаемой жидкости

pv2

+ pgh + р - const,

где v - скорость жидкости;

pv2

------- динамическое давление жидкости;

2

h - высота, на которой расположено сечение трубки тока; pgh - гидростатическое давление;

р - статическое давление жидкости.

Сила внутреннего трения между слоями текущей жидкости определяется законом Ньютона для вязкости

86

где Сх - безразмерный коэффициент сопротивления;

р- плотность среды;

v- скорость движения тела;

S - площадь наибольшего поперечног о сечения тела.

Примеры решения задач

Задача 1. В горизонтальной трубе переменного сечения течет вода. В трубу впаяны две вертикальные манометрические труб­ ки одинакового сечения (рис.7.1). Разность уровней в маномет­ рических трубках Ah = 8,0 см. Сечения трубы у основания ма­ нометрических трубок Si = 6,0 см2 и S2 ~ 12,0 см2. Пренебрегая вязкостью воды, определить ее массу, протекающую через сече­ ние трубы за единицу времени. Плотность воды р = 1,0 г/см3.

Дано:

Ah = 8,0 см = 0,080 м; S x= 6 ,0 1 0 '4 см2 =

= 6,0-1 O'4 м2;

S2 = 12,0 см2= 12,0-Ю Лг; р = 1 ,0 г/см3 = 1 0 0 0 кг/м3

Найти: Q

Решение. Масса воды, протекающей через сечение за единицу времени, т.е. массовый расход, определяется по выражению

где р - плотность воды;

88

Применим уравнение Бернулли для двух горизонтальных се­ чений трубы:

где р\ и pi - статические давления в сечениях манометрических трубок;

V! и v2- скорости течения воды в местах сечений .S’, и &. Разность статических давлений

Подставим (7.4) в (7.1) и найдем искомый массовый расход воды

(2gA/i

№ i - s ,

Подставляя данные задачи в (7.5), получим:

Ответ. Q = 0,87 кг/с.

Задача 2. В бочку льется вода. За единицу времени вливается объем воды равный V, . Чему равен диаметр отверстия d в дне бочки, чтобы вода в ней держалась на постоянном уровне hi

89