физика задачи

8.21Найти период малых вертикальных колебаний тела массы

тв системе, показанной на рис. 8.2. Жесткости пружинок к\ и к2, а их массы пренебрежимо малы.

Ответ. Т = 2 п ф п / к , где к = k ik 2/( k 1 + к 2).

7-8 баллов

8.22Шарик массой m = 1 кг совершает гармонические колеба­ ния в горизонтальном направлении с амплитудой А на пружине жесткостью к - 16 Н/м (рис. 8.3). На расстоянии AI2 от положения рав­

новесия установили

массивную стальную плиту, от которой ша­ рик абсолютно упруго отскакивает. Если временем соударений шарика о плиту и си­

лой трения о горизонтальную поверхность пренебречь,

7С

чему равен период колебаний шарика? Ответ. Т ~ — с.

8.23Определить частоту п простых гармонических колебаний

диска радиусом - 20 см около горизонтальной оси, про­ ходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости. Ответ, п = 0,92 с"1.

8.24Шар подвешен за петельку на гвозде, вбитом в стену. Шар совершает малые колебания в вертикальной плоско­ сти. Если размерами петельки пренебречь, каков период колебаний шара? Радиус шара R - 7,0 ем. Трением пре­ небречь. Ответ. Т = 0,628 с.

8.25Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия х = 0. Циклическая частота

колебаний равна со. В некоторый момент времени коор-

110

дината частицы составляет х0, а ее скорость v.xU. Найти ко­ ординату л- и скорость у* частицы через время t после это-

8.26Найти циклическую частоту и амплитуду гармонических колебаний частицы, если на расстояниях х\ и х2 от поло­ жения равновесия ее скорость равна соответственно V] и v2. Ответ.

8.27Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного

направления, которые происходят по законам л*1 = acos(u)i) и х2 = acos(2(ot). Найти максимальную ско­ рость точки. Ответ. vinax = 2,73«со.

8.28 Точка движется в плоскости X Y по закону х - Asin((at), у = = Boos(&t), где А, В, ю - постоянные. Найти: а) уравнение траектории точки у(х) и направление ее движения по этой траектории; б) модуль ускорения а точки в зависимости от модуля ее радиус-вектора г относительно начата коор­

динат. Ответ, х 1JА г + у 2 / В 2 = 1, по часовой стрелке;

а= - & гг .

8.29Тело массой m = 0,50 кг висит на резиновом шнуре с ко­ эффициентом упругости к - 50 Н/м. Найти максимальное расстояние, на которое можно оттянуть вниз тело, чтобы его колебания еще носили гармонический характер. Како­

ва при этом энергия колебания тела? Ответ.

Aftmax = m g /k = 0,1 м, W = m ' g - j l k = 0,25Дж.

8.30Физический маятник совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси О с частотой coj = 15,0 рад/с. Если в

111

положения равновесия к нему прикрепить под осью О на расстоянии / = 20 см от нее небольшое тело массой т ~ ~ 50 г, то частота колебаний со2 = 10,0 рад/с. Найти мо­ мент инерции первоначального маятника относительно оси О. Считать, что после прикрепления небольшого тела положение центра масс физического маятника не измени­ лось.

9-10 баллов

8.33Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания Хо - = 1,50. Каким будет значение X, если сопротивление сре­ ды увеличить в п —2,00 раза? Во сколько раз следует уве­ личить сопротивление среды, чтобы колебания стали не­ возможны?

8.34К невесомой пружине подвесили груз, и она растянулась на Ах = 9,8 см. С каким периодом будет колебаться груз, если ему дать небольшой толчок в вертикальном направ-

112

лении? Логарифмический декремент затухания X = 3,1.

8.35Частицу сместили из положения равновесия на расстоя­ ние I - 1,0 см и предоставили самой себе. Какой путь пройдет эта частица до полной остановки, если логариф­

мический декремент затухания X = 0,020? Ответ.

S« / ( l + £ 'A/2) /( l - e ~ >'/2)= 2 м .

8.36Найти период малых поперечных колебаний шарика мас­ сой m ~ 40 г, укрепленного на середине натянутой струны длины / = 1,0 м. Силу натяжения струны считать постоян­ ной и равной F — 10 Н. Массой струны пренебречь. От­

вет. Т = п yJntl/F = 0,2 с -

8.37Определить период малых колебаний шарика, подвешен­ ного на нерастяжимой нити длиной / = 20 см, если он на­ ходится в жидкости, плотность которой в г) = 3,0 раза меньше плотности шарика. Сопротивление жидкости

Т= 2 % J r ] f J g ( 4 - l ) = l , l c .

8.38Шарик подвесили на нити длиной / к точке О стенки, составляющей не­

большой угол ос с вертикалью (рис. 8.4). Затем нить с шариком от­ клонили на небольшой угол Р > а и отпустили. Считая удар шарика о стенку абсолютно упругим, найти пе­ риод колебаний такого маятника.

Ответ.

Т = 2 j [ / g [ n / 2 + a r c s i n ( a / p ) ] .

8.39Пуля массой т, летящая горизонтально со скоростью v, попадает в подвешенный на невесомой нити шар массой

113

где -\'i, х2 - координаты двух точек среды.

Скорость распространения звуковых волн в упругой среде.

щ

- продольных: v = i — : V Р

-поперечных: v

где Е - модуль Юнга; G - модуль сдвига; р - плотность среды.

Скорость распространения звуковых волн в газах

yRT

V м ’

с р

где у = -------отношение молярных теплоемкостей газов при по- С,

стоянном давлении и при постоянном объеме; R - универсальная газовая постоянная;

Т - абсолютная температура; М - молярная масса газа.

Частота основного тона струны

_ 1 [ F

П 2/ VpS ’

где I - длина струны;

р - плотность вещества струны;

S - площадь поперечного сечения струны; F - сила натяжения струны.

Фазовая v и групповая и скорости, а также формула связи между ними

ю t/co „ dv v ——; и - — ; и = v — А,— .

к dk d'k

115

Уравнение стоячей волны

2тг

S (x,t) = 2 J c o s — х cos со? = 2A cos foe cos со?.

Координаты пучностей и узлов при отражении от менее плотной среды

д. Х * „ = ± ' т + - ^ ,

при отражении от более плотной среды

где Л, - длина бегущей волны; /и = 0, 1, 2,...

Примеры решения задач

Задача 1. Плоская синусоидальная волна распространяется со скоростью v = 15 м/с вдоль прямой, совпадающей с положи­ тельным направлением оси л: в среде, не поглощающей энергию. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии .xi = 5 м и л-; = 5,5 м от источника колебаний, колеблются с разностью фаз

%

Дер = —. Амплитуда волны А —4 см. Определить: 1) длину вол­

ны; 2) уравнение волны; 3) смещение S\ первой точки в момент времени t = 3 с.

116

Задача 2. Средняя молярная кинетическая энергия поступа­ тельного движения молекул азота 3400 Дж/моль. Найти ско­ рость распространения звука в азоте.

117

где R —универсальная газовая постоянная;

у= 1,4 - показатель адиабаты для азота;

Т- абсолютная температура;

М - молярная масса газа.

Средняя молярная кинетическая энергия поступательного движения молекул азота

Тогда из (9.2) можно определить абсолютную температуру Т

Задача 3. При наложении двух когерентных бегущих волн с длиной волны 12 см возникает стоячая волна. Найти положение узлов и пучностей стоячей волны, если отражение происходит от менее плотной среды.

118

Подставляя в (9.4) и (9.5) значения для т и к , получим положе­

ния узлов ху= 3,9,15 см...; положения пучностей хп - 0,6,12 см...

Ответ. Положения узлов ху= 0,03; 0,09; 0,15 м ...; положения

пучностей х„= 0; 0,06; 0,12 м...

Чему равна амплитуда колебаний А, циклическая частота, волновое число? Ответ. А = 10 м; е> = 4n; R = 0,2 м-1.

9.3Найти скорость распространения звука в воздухе при

температуре 300 К. Молярная масса воздуха М - = 29 • 10”3 кг/моль, показатель адиабаты у = 1,4. Ответ, v = 357 м/с.

119