Добавил:

MrNswgsw Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Физика

Файл:

задачи2сем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.03.2025

Размер:

3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

qm , частотой	0			1	и периодом	T 2 LC	(формула Томсона).
				LC

Величины qm и 0			определяются начальными условиями.
Закон изменения U					устанавливается на основе определения емкости
конденсатора	C	q		. Тогда
			U
					U Um cos 0t 0	,

(4.14) где

U		q
U	m	m	C
			C

– амплитуда колебаний напряжения на обкладках

конденсатора.

Изменение тока в контуре происходит по закону

(4.15)

0qm sin 0t 0 Im cos 0t

где

Im 0qm .

То

есть,

сила тока

опережает по

фазе

напряжение

на

конденсаторе на

В идеальном

контуре

происходит периодическое

преобразование

0t 0

энергии

cos

электрического поля

конденсатора

0t 0

энергию

sin

магнитного

поля

катушки

индуктивности и наоборот. Значения

WC и WL изменяются в пределах от

до максимальных значений,

соответственно равных

, причем

. Полная энергия

контура не изменяется с течением времени:

W WC

		q	2	LI	2
W W	W	q		LI
W W	W	m			m
		m			m
C	L	2C		2
		2C		2

const

(4.16)

Дифференциальное уравнение движения тела массой из положения равновесия, на которое действуют упругая

m , выведенного сила F kx и

сила сопротивления среды F rV r dx rx ( r – коэффициент

C	dt

сопротивления),

где:	x	d 2 x	,
		dt2

имеет вид:

		x 2 x			x
				2
				0
r	,	02	k	. Вместо
2m	,	02	m	. Вместо
2m			m

(4.17)

обозначения здесь и далее можно

также использовать обозначение ( ).
	При выполнении условия 02 2			решением уравнения (4.17) является
функция
			x A e t sin t ,					(4.18)
			0	0
						и
где		2 2	, а постоянные величины		A	и	0	зависят от начальных
		0			0		0

условий. Выражение (3.18) называют уравнением затухающих колебаний механической системы.

Величина

A(t) A0e

–

амплитуда

затухающих колебаний,

–

начальная амплитуда,

–

частота

затухающих

колебаний, T

–

период затухающих колебаний, – коэффициент затухания.

Физический смысл

: это величина,

обратная времени

, за которое

амплитуда колебаний уменьшается

раз (

). Соответственно

называют временем релаксации.

а система, выведенная из

Если 0

, то колебания не возникают,

равновесия, медленно возвращается к исходному состоянию.

Декремент затухания

A t

, где

A t

A t T

– амплитуды

A t T

колебаний, разделенных во времени периодом колебаний Логарифмический декремент затухания ln D T

T .
	1	T	1	1	, где

				N
			T

– число

колебаний,

течение

которых

амплитуда

колебаний

уменьшается в

e раз.

Важной

характеристикой

колебательной

системы

является

добротность Q , определяемая

как

Q 2

, где

– полная энергия

колебательной системы, E

– энергия,

растрачиваемая системой за одно

колебание.

Для идеальной колебательной системы ( E 0 )

добротность стремится

к бесконечности. Можно показать, что для малых затуханий Q

Процесс разряда конденсатора, предварительно заряженного зарядом

qm , через катушку индуктивностью

и сопротивлением R описывается

дифференциальным уравнением

где q dqdt ,

d	2	q

dt		2

R 2L

q 2 q	q
2
0

, 02 LC1 .

(4.19)

При выполнении условия

2 в контуре происходят затухающие

колебания, а решение уравнения (3.19) имеет вид

q q e t cos t ,

(4.20)

где 2

2 , величины q

определяются начальными условиями.

Если

2 , происходит

апериодический разряд

конденсатора, а

колебания не возникают. При

2 имеет место критический режим.

Критическое сопротивление R

Напряжение на обкладках конденсатора и ток в контуре изменяются по законам:

где

U		q	m
U			m
	m	C
		C

I	m

0qm

U Ume				t		cos t	0 ,

I I	e	t			cos t

m							0
cos					,	sin			.

			0					0

(4.21)

(4.22)

Движение в среде с коэффициентом сопротивления

тела массой

m ,

прикрепленного к невесомой пружине с коэффициентом упругости

k , под

действием внешней вынуждающей силы

F Fm cos t , совершающей

гармонические колебания с частотой дифференциальным уравнением

и амплитудой

, описывается

x 2 x	2	x
	2
	0

где 2rm , 02 mk .

Fm m

cos t

(4.23)

Установившиеся вынужденные колебания тела также гармонические с

той же частотой					:			x Acos t
								x Acos t						,				(4.24)
			F
				m	m				2
где	A				m			и tg	2			.
где	A	2		2			2	и tg				.
		2		2			2	2	0		2
					2	4			2		2
					2

	0
	При 0 получается, что									0 0			,	A 0 A	F		F	– статическое
	При 0 получается, что									0 0			,	A 0 A	m		m	– статическое
															m		m
														0	m	2	k
															m	0	k
																0

смещение тела из положения равновесия под действием постоянной силы

F Fm	. При амплитуда A 0.

В случае установившихся вынужденных гармонических колебаний амплитуда смещения достигает максимума при циклической частоте

колебаний	0	2		.	(4.25)
РЕЗ
	2		2

Частота	РЕЗ	называется резонансной. Резкое	возрастание
вынужденных колебаний при приближении к			значению РЕЗ

явлением резонанса. Амплитуда при резонансе

амплитуды

называется

A		F
A		m
		m
РЕЗ	2 m		2	2
	2 m

			0

(4.26)

Если на электрический контур (содержащий конденсатор емкостью C , катушку индуктивностью L и сопротивление R ) от внешнего источника подано переменное напряжение U Um cos t , совершающее гармонические

колебания с амплитудой U m и частотой , то изменение с течением

времени

заряда

q t

на

обкладках

конденсатора

описывается

дифференциальным уравнением

2 q 0 q

cos t ,

(4.27)

где

– коэффициент

затухания

свободных колебаний в контуре,

– циклическая частота свободных незатухающих колебаний (то

R 0 ), q

, q

есть при

2 .

q t

установившемся

режиме

совершает

вынужденные

гармонические колебания с той же циклической частотой :

q qm cos t .

(4.28)

Амплитуда

qm и начальная фаза

находятся по формулам:

q	m
	m

Подстановка значений

q	m
	m

					U
		2				2
		2				2
0		0
0		и
	2
			U		m
					m
R	2			L
R				L

m			, tg
m
2	4		2
		2	2
дает:
		,	tg
	1	2
	1

	C

		R
	1	L
	C	L
	C

(4.29)

(4.30)

Зависимость от времени силы тока в контуре при установившихся вынужденных колебаниях описывается уравнением

I	dq	q		sin t I		cos	t	.	(4.31)
			m		m
	dt
								2

При этом

. Выражение (3.31) можно представить

в виде

	где
	где	2
		2

I Im cos t ,

(4.32)

– сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением.

Тогда

		1
tg tg
tg tg
		tg
	2	tg

L	1
L	C	.	(4.33)
	C
R
R

Из выражения (4.33) следует, что ток отстает по фазе от напряжения (

0 ) в том случае,	когда L			1	, и опережает напряжение ( 0 ) при
0 ) в том случае,	когда L			C	, и опережает напряжение ( 0 ) при
				C
выполнении условия	L	1	.
выполнении условия	L		.
		C

Резонансная циклическая частота

	РЕЗ

при которой достигается

максимум амплитуды тока при вынужденных колебаниях, не зависит от величины активного сопротивления R :

		РЕЗ 0	1	.
		РЕЗ 0	LC	.
			LC
	Напряжение на активном сопротивлении
		UR RI RIm cos t URm cos t ,
где	URm RIm	– амплитудное значение			U R . Колебания

одной фазе с колебаниями I в контуре. Напряжение на конденсаторе

U	R

(4.34)

(4.35)

происходят в

где UCm qm

силы тока

U	C

C R2

	на
	на	2
		2

	q	q
			m		cos t UCm cos t
			m
	C	C
Um							Im	. Напряжение
							C	. Напряжение
					1	2	C
					1
	L
	L
				C
.	Амплитудное							значение UCm

			,
	2

UC отстает по

RC Im

, где

(4.36)

фазе от

		1	–
		C

емкостное сопротивление контура (цепи). Напряжение на катушке индуктивности

U		L	dI
U	L	L	dt
	L

U		cos	t
U	Lm	cos	t	2
				2

 

(4.37)

где:	ULm LIm RL Im	– амплитудное значение U L ; RL L			–	индуктивное
сопротивление цепи. Напряжение U L			опережает ток в контуре на					.
сопротивление цепи. Напряжение U L			опережает ток в контуре на				2	.
							2
	Величина	RR RL RC L	1	называется		реактивным
	Величина	RR RL RC L	C	называется		реактивным
			C

сопротивлением цепи,

–

активным

сопротивлением,

– полным сопротивлением цепи.

Гармоническое колебание можно изобразить графически в виде

вектора	A	, равномерно вращающегося на плоскости против часовой

стрелки с угловой скоростью					, равной циклической частоте колебаний.
Модуль вектора			A	равен амплитуде		A	рассматриваемых колебаний. Вектор

A составляет с горизонтальной осью координат

угол t 0

, равный

фазе колебаний в данный момент времени	t . Соответственно проекция	A
на вертикальную ось OY совершает	гармонические колебания	по
следующему закону:
y Ay Asin t 0 .	(4.38)

Графическое изображение гармонического колебания при помощи вращающегося вектора называют методом векторных диаграмм.

При помощи этого метода можно осуществить сложение двух

одинаково	направленных			гармонических колебаний одной	частоты
y1 A1 sin t 01 и		y2	A2 sin t 02 . Складывая графически вектора A1 и			A2
, получим вектор		A	, вращающийся с угловой скоростью . Вектор			A ,
проекция которого на ось				OY равна y , соответствует результирующему
колебанию	y y1 y2 :
				y Asin t 0 ,	(4.39)

где:

колебания,

	2	2	2A A cos
A		A	2A A cos					02	01
1		2		1	2			02	01
		arctg		A sin		01	A sin			02
				1		01		2		02
	0			A cos			A cos
	0
						01					02
				1		01		2			02

– амплитуда результирующего

– начальная фаза результирующего

колебания.

Негармонические колебания, получающиеся при наложении двух одинаково направленных колебаний с близкими частотами называются биениями. Пусть x1 a cos t , x2 acos( )t , . Тогда

x x	x		(2a cos		t) cost
		2
1				2

(4.40)

Во втором множителе пренебрегли членом			по сравнению с .
Во втором множителе пренебрегли членом		2	по сравнению с .
		2
За то время, за которое множитель	cos t		совершит несколько полных

колебаний, множитель, стоящий в скобках, почти не изменится. Это дает основания рассматривать результирующее колебание (4.40) как

гармоническое колебание частоты

, амплитуда которого изменяется по

некоторому периодическому закону. Аналитическое выражение амплитуды имеет вид:

A 2a cos		t	.		(4.41)
	2


Это периодическая функция с частотой, в				2	раза превышающей
частоту выражения, стоящего под знаком модуля, то есть с частотой						.

Таким образом, частота пульсаций амплитуды, ее называют частотой биений, равна разности частот складываемых колебаний.

Множитель	2a cos		t	не только определяет амплитуду, но и влияет на
		2

фазу колебаний. Это проявляется, например, в том, что отклонения,

соответствующие		соседним					максимумам	амплитуды,	имеют
противоположные знаки.
При сложении взаимно перпендикулярных колебаний одной частоты
x a cos t 0 и y bcos( t 0							) , совершаемых,	например, точкой M ,
уравнение траектории результирующего движения в плоскости XOY									можно
найти, исключив параметр t из выражений x и y :
	x2		y2	2	xy	cos sin 2 .			(4.42)
	a2		b2	2		cos sin 2 .			(4.42)
	a2		b2		ab
							26

Траектория представляет собой эллипс, расположенный произвольным

образом по отношению к осям координат.

Точка

описывает

этот

эллипс

за время,

равное периоду

складываемых

колебаний

Результирующее

движение

точки

называют эллиптически поляризованными колебаниями.

Если

(2m 1)

, где

0, 1, 2,... , то оси эллипса совпадают с осями

и OY , а размеры его полуосей равны амплитудам

a и b :

(4.43)

Если

a b , то траектория является окружностью. При знаке « » точка

движется по часовой стрелке,

при знаке « » –

в противоположном

направлении. Такое результирующее движение точки

называется

колебаниями,

поляризованными

по

кругу,

или

циркулярно

поляризованными колебаниями.

В случаях, когда

( m 0, 1, 2,... ), эллипс вырождается в отрезок

прямой:

x .

(4.44)

Знак

« »

соответствует

четным значениям m ,

то

есть

сложению

синфазных колебаний (прямая расположена в 1-ой и 3-ей четвертях); знак «» – нечетным значениям m , то есть сложению колебаний, совершающихся в противофазе (прямая расположена во 2-ой и 4-ой

четвертях).
При этом точка M совершает линейно поляризованные колебания. Она
гармонически колеблется с частотой	амплитудой	A	a	2	b	2	вдоль
				2		2
		b	cos m
прямой линии, которая составляет с осью OX угол arctg			cos m			.
		a

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с циклическими

частотами	p	и	q , где	p	и	q	– целые	числа ( x a cos p t 1 ,
y b cos q t 2		),	значения	координат			x и y	колеблющейся точки	M
									M
одновременно		повторяются		через		одинаковые		промежутки времени	T0	,

равные наименьшему общему кратному периодов колебаний вдоль осей

OX	и OY :	T 2	p	,	T 2	q	. В результате траектория точки M
		1	p		2	q
		1			2

представляет замкнутую кривую, форма которой зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Такие замкнутые траектории называются фигурами Лиссажу.

5. Волны

ВОПРОСЫ ПРОГРАММЫ

1.Понятие о волновых процессах. Характеристики волны. Длина волны. Продольные и поперечные волны. Фронт волны. Волны плоские и сферические. Волновые поверхности. Луч. Уравнение плоской бегущей гармонической волны. Фазовая скорость. Волновое число. Волновой вектор. Уравнение сферической волны.

2.Волновое уравнение Даламбера. Связь скорости волны с характеристиками среды. Колебательная скорость, относительная деформация и напряжение в упругой волне.

3.Энергия упругой волны. Перенос энергии волной. Объемная плотность энергии в волне. Поток энергии. Плотность потока энергии и вектор Умова. Интенсивность волны.

4.Звуковые волны. Акустика. Скорость звука в газе. Звуковое давление и его связь с интенсивностью волны. Высота, тембр, громкость звука и их физические характеристики. Уровень интенсивности звука. Порог слышимости и порог болевого ощущения. Эффект Доплера в акустике.

5.Принцип суперпозиции (наложение волн). Когерентные волны. Интерференция волн. Условия максимумов и минимумов при интерференции.

Стоячие волны. Уравнение стоячей волны. Узлы и пучности смещения. Собственные частоты колебаний натянутой струны.

6.Электромагнитные волны. Волновое уравнение для электромагнитной волны. Уравнение плоской бегущей гармонической электромагнитной волны. Скорость электромагнитных волн. Объемная плотность энергии. Плотность потока энергии. Вектор Умова-Пойнтинга.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

Процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени называется волновым процессом или просто волной. Фронт волны

– геометрическое место точек, до которых распространилась волна к данному моменту времени. В зависимости от вида фронта бывают волны плоские, сферические, цилиндрические.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей существует бесчисленное множество. Фронт волны – одна из волновых поверхностей.

Луч – это направление, вдоль которого распространяется волна. Длина

волны – кратчайшее расстояние		вдоль луча между двумя точками,
колеблющимися в одной фазе (	2	).

Волны, распространяющиеся в упругих средах, называют упругими волнами. Вещество при этом не переносится, а частицы среды совершают колебания около своих положений равновесия.

Если колебания происходят вдоль направления распространения волны, волны называются продольными, в перпендикулярном направлении

–поперечными.

Втвердых средах могут распространяться как поперечные, так и продольные волны, в жидкостях и газах – только продольные (в них отсутствует сопротивление поперечному сдвигу).

Для любого типа волн величина

x,t

для момента времени

определяет смещение колеблющейся точки от положения равновесия, где

– координата равновесного положения точки (расстояние до источника волны). Явный вид x,t называют уравнением волны.

Уравнение плоской волны, распространяющееся в положительном направлении оси OX , имеет вид

x, t

Asin t

		x

 

(5.1)

где

– координата равновесного положения колеблющейся точки,

–

амплитуда волны, – циклическая частота колебаний, – скорость волны.

Для	встречной	волны,	распространяющейся	в	сторону
уменьшающихся значений		x , уравнение имеет вид

x, t Asin t x .

Поскольку	2	(T – период колебаний), то
	T

где

x,t Asin 2		t	x	Asin 2		t
x,t Asin 2				Asin 2
	T		T		T

– длина волны.

		x

 

(5.2)

Зафиксируем фазу волны:

t	x	const
t		const

. Это выражение определяет


связь между временем	t	и координатами x точек волновой поверхности,
соответствующими	любому		фиксированному	значению	фазы
синусоидальной волны.		Продифференцируем полученное выражение:

dt	1	dx

. Отсюда dxdt 0 . Таким образом, скорость распространения

волны V	в уравнениях (5.1) и (5.2) – это скорость распространения фазы,
поэтому	называют фазовой скоростью.
Уравнению		плоской волны можно придать вид, симметричный
относительно x		и t . Чтобы это сделать, вводится волновое число k	2	.

Волновое

отрезке

число трактуют как число длин волн, укладывающихся на

Волновой вектор k – это вектор, модуль которого равен волновому числу, направленный по нормали n к фронту волны, то есть k kn .

Так как

k	2	2




		T

, раскрывая скобки в выражении (5.1),

получим уравнение плоской виде

x,t

волны

Asin

в симметричном относительно

t kx .

(5.3)

Всякий реальный источник волны обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстоянии от источника, значительно превышающим его размеры, то источник можно считать точечным.

В однородной и изотропной среде волна, возбуждаемая источником,

будет сферической.
Допустим, фаза колебаний источника равна	t	. Тогда точки, лежащие
на волновой поверхности радиусом r , будут		колебаться с фазой

t	r	t kr
t		t kr

(чтобы пройти путь

волне требуется время r ).

Амплитуда колебаний поглощается средой, не от источника по закону

в этом случае, даже если энергия волны не остается постоянной – она убывает с расстоянием

1	r	.

Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид

Здесь

A r

A r
0	0
r

, где

		r	(5.4)
r, t A r sin t		.	(5.4)

r0	– минимальное расстояние,		на котором источник

можно считать точечным, а волну сферической;

– амплитуда колебаний

на расстоянии

от источника;

– расстояние до точки наблюдения.

Уравнение любой волны (плоской или сферической) является решением дифференциального уравнения, которое называется волновым. В общем случае, когда плоская волна распространяется в произвольном направлении и x, y, z,t , где x , y и z – координаты точки наблюдения,

волновое уравнение Даламбера имеет вид

2 2 2 1 2 ,x2 y2 z2 2 t2

где – скорость волны.

Для волн, распространяющихся только вдоль оси зависимость от координат y и z ), получаем

(5.5)

(отсутствует

2x2

2t2

(5.6)

В реальной среде скорость зависит от ее свойств и от типа волны. Распространение продольных волн в тонком упругом стержне связано

с его продольным растяжением и сжатием. Соответственно фазовая скорость таких волн

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Физика

#
14.03.2025513.02 Кб0Protokol_k_laboratornoy_rabote_4_3.doc
#
14.03.2025237.57 Кб0Protokol_k_laboratornoy_rabote_4_4.doc
#
14.03.202572.7 Кб0Protokol_k_laboratornoy_rabote_4_5.doc
#
14.03.20252.08 Mб0Волны.pdf
#
14.03.202527.14 Кб0Вопросы по второму сему.doc
#
14.03.20253 Mб2задачи2сем.pdf
#
14.03.20252.3 Mб0Колебания.pdf
#
14.03.20252.11 Mб0Магнетизм.pdf
#
14.03.202527.78 Кб0Протокол к лабораторной работе 5.3.docx
#
14.03.202545.47 Кб0Протокол к лабораторной работе 5.4.docx
#
14.03.20256.54 Mб2физика задачи.pdf