4. Определение соответствия массивов распределениям

Массив Z соответствует равномерному распределению.

Массив X соответствует нормальному распределению.

Массив Y соответствует нормальному распределению.

Массив D соответствует распределению Пуассона.

2. Оценивание параметров

В данном разделе представлена оценка рассчитанных параметров.

1. Несмещенные точечные оценки соответствующего предположительного распределения

Несмещенные точечные оценки случайной величины Z, предположительно имеющей равномерное распределение –– максимум и минимум: , .

Несмещенные точечные оценки случайной величины X, предположительно имеющей нормальное распределение –– математическое ожидание и среднее: , .

Несмещенные точечные оценки случайной величины Y, предположительно имеющей нормальное распределение –– математическое ожидание и среднее: , .

Несмещенные точечные оценки случайной величины D, предположительно имеющей распределение Пуассона –– выборочное среднее: .

2. Поиск доверительных оценок параметров нормальных распределений и распределения Пуассона

При поиске доверительных оценок параметров, следует найти доверительный интервал , который с вероятностью (по умолчанию) будет содержать в себе истинное значение математического ожидания .

Точность оценки рассчитывается по формуле:

где – объём выборки;

где – коэффициент доверия, отыскивающийся из отношения:

Таким образом, точность оценки значения математического ожидания для случайной величины X, имеющей нормальное распределение будет рассчитываться по формуле:

Следовательно, математическое ожидание с вероятностью 95% будет находиться в следующем доверительном интервале:

Точность оценки значения математического ожидания для случайной величины Y, имеющей нормальное распределение будет рассчитываться по формуле:

Следовательно, математическое ожидание с вероятностью 95% будет находиться в следующем доверительном интервале:

Точность оценки значения выборочной средней для случайной величины D, имеющей распределение Пуассона будет рассчитываться по формуле:

Следовательно, выборочная средняя с вероятностью 95% будет находиться в следующем доверительном интервале:

3. Проверка статистических гипотез

Для случайной величины Z, выдвинем две гипотезы:

H₁ – Имеет равномерное распределение;

H₂ – Имеет не равномерное распределение.

Заполним следующую таблицу:

Таблица 15

Интервалы
1	1,53	1,265		37		46,805		59,20833
1,53	2,06	1,795		31		55,645		99,88278
2,06	2,59	2,325		33		76,725		178,3856
2,59	3,12	2,855		39		111,345		317,89
3,12	3,65	3,385		32		108,32		366,6632
3,65	4,18	3,915		28		109,62		429,1623

Затем нужно вычислить следующие величины:

среднее: ;

стандартное отклонение: ;

объём выборки: ;

шаг гистограммы: .

Теоретические частоты рассчитываются по формуле:

где –функция Гаусса, рассчитывающаяся по формуле:

где , рассчитывается по формуле:

Вычислим наблюдаемое значение критерия , которое определяется по формуле:

Заполним ещё одну таблицу:

Таблица 16

-1,41321	0,146971	33	0,484848485
-0,812	0,286904	33	0,121212121
-0,21078	0,390177	33	0
0,390428	0,369666	33	1,090909091
0,991641	0,243993	33	0,03030303
1,592853	0,112194	33	0,757575758

При этом сумма теоретических частот оказалась чуть меньше объёма выборки . Это объяснимо тем, что эмпирическая гистограмма конечна, а нормальная кривая – бесконечная, и небольшой "недобор" теоретических частот приходится на участки, лежащие слева и справа от гистограммы.

Найдём критическое значение критерия согласия Пирсона по следующей формуле:

где – уровень значимости;

где – количество степеней свободы, определяющееся по формуле:

где – количество интервалов;

где – количество оцениваемых параметров рассматриваемого закона распределения.

Для нахождения нужно обратиться к таблице критических значений распределения , в которой указаны степени свободы и уровни значимости. Данная таблица представлена на следующем рисунке:

Рисунок 5 – Критические точки распределения

В текущем случае:

Далее необходимо сравнить и .

Поэтому на уровне значимости 0,05 нет оснований отвергать гипотезу H₁ о равномерном распределении случайной величины Z.

Аналогичную последовательность расчётов необходимо проделать и со случайной величиной X.

Таблица 17

Интервалы
-4,04	-2,24003	-3,14002	3	-9,42005	29,57908
-2,24003	-0,44006	-1,34005	10	-13,4005	17,95721
-0,44006	1,35991	0,459925	19	8,738575	4,019089
1,35991	3,15988	2,259895	36	81,35622	183,8565
3,15988	4,95985	4,059865	59	239,532	972,4677
4,95985	6,75982	5,859835	35	205,0942	1201,818
6,75982	8,55979	7,659805	27	206,8147	1584,161
8,55979	10,35976	9,459775	7	66,21843	626,4114
10,35976	12,15973	11,25975	3	33,77924	380,3456
12,15973	13,9597	13,05972	0	0	0
13,9597	15,75967	14,85969	1	14,85969	220,8102

Вычисляем следующие величины:

среднее: ;

стандартное отклонение: ;

объём выборки: ;

шаг гистограммы: .

Заполним ещё одну таблицу:

Таблица 18

-2,43879	0,020388	2,485441	0,106529
-1,82927	0,074867	9,126599	0,083583
-1,21974	0,189603	23,11349	0,732074
-0,61022	0,331171	40,37131	0,473315
-0,00069	0,398942	48,633	2,209911
0,60883	0,331451	40,40548	0,723149
1,218355	0,189924	23,15263	0,639335
1,827879	0,075057	9,149792	0,505105
2,437404	0,020457	2,493866	0,102721
3,046928	0,003846	0,468798	0,468798
3,656453	0,000499	0,060778	14,51399

Как можно заметить , это означает, что гипотеза не принимается. Но в данном случае, результат искажает выброс в интервале . Он содержит всего лишь одно, не характерное для выборки значение. К тому же, интервал , не содержит никаких значений. Исходя из этого, следует убрать искажающие статистику данные.

В этом случае:

Поэтому на уровне значимости 0,05 нет оснований отвергать гипотезу H₁ о нормальном распределении случайной величины X.

Аналогичную последовательность расчётов необходимо проделать и со случайной величиной Y.

Таблица 19

Интервалы
-4,04	-2,34	-3,19		3		-9,57		30,5283
-2,34	-0,64	-1,49		10		-14,9		22,201
-0,64	1,06	0,21		19		3,99		0,8379
1,06	2,76	1,91		36		68,76		131,3316
2,76	4,46	3,61		59		212,99		768,8939
4,46	6,16	5,31		35		185,85		986,8635
6,16	7,86	7,01		27		189,27		1326,783
7,86	9,56	8,71		7		60,97		531,0487
9,56	11,26	10,41		3		31,23		325,1043
11,26	12,96	12,11		0		0		0
12,96	14,66	13,81		1		13,81		190,7161

Вычисляем следующие величины:

среднее: ;

стандартное отклонение: ;

объём выборки: ;

шаг гистограммы: .

Вновь заполним таблицу:

Таблица 20

-2,5327	0,016144	1,887541	0,65565
-1,94809	0,059817	6,993876	1,292099
-1,36348	0,157476	18,41243	0,018751
-0,77887	0,294564	34,44099	0,07057
-0,19426	0,391485	45,77326	3,82203
0,390348	0,369678	43,22346	1,56455
0,974958	0,248029	29,00005	0,137938
1,559568	0,118237	13,8245	3,368934
2,144178	0,040047	4,682436	0,604512
2,728789	0,009638	1,126849	1,126849
3,313399	0,001648	0,192678	3,382697

Ситуация аналогична прошлой: . Это означает, что гипотеза не принимается. В данном случае, результат искажает выброс в интервале . Он содержит всего лишь одно, не характерное для выборки значение. Интервал , не содержит никаких значений. Исходя из этого, следует убрать искажающие статистику данные.

В этом случае:

Поэтому на уровне значимости 0,05 нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении случайной величины Y.

Похожую последовательность расчётов необходимо проделать и со случайной величиной D.

среднее: ;

стандартное отклонение: ;

объём выборки: .

Вновь заполним таблицу:

Таблица 21

6	2	12	0,008378	1,675653	0,062782
7	4	28	0,016834	3,366865	0,11906
8	3	24	0,029597	5,91937	1,439802
9	12	108	0,046253	9,25066	0,817117
10	11	110	0,065055	13,01105	0,310838
11	12	132	0,083182	16,63641	1,292121
12	26	312	0,097496	19,49925	2,167247
13	19	247	0,105483	21,09669	0,208379
14	22	308	0,105973	21,19464	0,030602
15	22	330	0,099368	19,87351	0,227537
16	16	256	0,08735	17,47006	0,123701
17	14	238	0,07227	14,4539	0,014254
18	12	216	0,056471	11,29412	0,044118
19	13	247	0,041803	8,36062	2,574432
20	8	160	0,029398	5,879606	0,764689
21	1	21	0,01969	3,937936	2,191876
22	2	44	0,012588	2,517594	0,106413
23	1	23	0,007698	1,539564	0,189098

Поэтому на уровне значимости 0,05 нет оснований отвергать гипотезу H₁ о распределении Пуассона для случайной величины D.

4. ВЫВОДЫ

Ни одна гипотеза, относительно распределения не была отвергнута, что говорит о её верности, но верность гипотезы не может утверждаться до конца, так как существует 5% вероятность того, что была совершена ошибка 2-го рода, то есть гипотеза могла быть принятой, но на самом деле она будет неправильной.