Добавил:

Julsft Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

ТВиМС 2022

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2025

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

E 2 E( 2) E( 2)

Математическое ожидание функций от случайных величин Рассмотрим некоторую случайную величину и случайную величину

, где x : - некоторая функция.

Требуется вычислить математическое ожидание случайной величины , если известно распределение случайной величины .

Утверждение. Пусть		x		- случайная величина дискретного
		i	,i
	P xi			E , x - произвольная функция,
типа с математическим ожиданием

x : . Тогда E xi P xi .

(i)

Утверждение. Пусть - случайная величина абсолютно непрерывного типа с плотностью p (x), x : - функция, имеющая положительную

производную	d x	0 для всех вещественных x . Тогда
производную	dx	0 для всех вещественных x . Тогда
	dx

E x p x dx .
		Моменты и дисперсия случайных величин
Определение.		Моменты и дисперсия случайных величин
Определение.		Моментом k-го порядка	случайной величины
относительно a называется математическое				ожидание случайной
величины a k , если оно определено.
Если a 0, то момент называется начальным:			k E k .
Если a E , то момент называется центральным:				E E k .
				k
Центральный и начальный моменты однозначно определяют друг друга:
		k
k E E k E Ckm m 1 k m E k m
		m 0
k		k

1 k m Ckm E k m E m 1 k m Ckm 1 k m m .

m 0	m 0
Аналогично,
	k

k E k E E E k E Ckm E m E k m

	m 0
k	k

Ckm E k m E E m Ckm E k m m . m 0 m 0

Определение. Абсолютным моментом k -го порядка случайной величины

относительно a называется математическое ожидание случайной величины ak , если оно определено.

Если a 0, то это начальный абсолютный момент: k E| |k .

Если a E , то это центральный абсолютный момент: k E| E |k .

Определение. Дисперсией случайной величины называют её центральный момент второго порядка (или центральный абсолютный момент второго порядка):

D E E 2 E| E |2 2 2 .

Если математическое ожидание, иногда называемое средним значением, характеризует среднее значение случайной величины, полученное в результате случайного эксперимента, то дисперсия характеризует степень «разброса» значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Вычислительные формулы для дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин выглядят следующим образом:

D xi E 2 P xi xi2 P xi E 2 ;

(i)	(i)

D x E 2 p x dx x2 p x dx E 2 .

Теорема (о свойствах дисперсии). Пусть - случайная величина, обладающая дисперсией. Тогда

1.D 0.

2.Для любой вещественной константы c верно, что Dc 0.

3.D E 2 E 2 .

4.	Для	любой		вещественной константы c верно, что D c c2	D ,
D c D .
5.	Если	1,	2	- независимые случайные величины с дисперсиями D 1,	D 2 ,

то D 1 2 D 1 D 2 .

Примеры (вычисления математического ожидания и дисперсии случайных величин).

1). Пусть			- индикатор некоторого случайного события,		1	0	,
1). Пусть			- индикатор некоторого случайного события,				,
					p	1 p
тогда	2	1	0	, и мы получаем:
тогда	2			, и мы получаем:
		p	1 p

E E 2 1 p 0 (1 p) p,

D E 2 E 2 p p2 p 1 p .

2). Пусть Bi (n, p). Мы можем представить эту случайную величину как

сумму независимых	и	одинаково распределенных случайных величин
1 2 ... n , где	i	- индикатор того, что в i-м испытании произошел
успех.

Тогда мы получаем:

E E 1 E 2 ... E n np.

D D 1 D 2 ... D n np 1 p npq.

3). Пусть

. Тогда, используя разложение экспоненты

ряд Тейлора, получаем

s 0

k 1

E k P k k

e e

k 0

k 1

k 1 !

e e

s 0

k 1

E 2 k2

e k

e (s 1)

k 1 !

k 0

k 1

s 0

s 1

s 1 s 1 !

s 0 s!

s 1 s 1 !

e e e

2 ,

t 0

D E 2 E 2 2 2 .

4). Пусть имеет геометрическое распределение, тогда

E kqk 1p p kqk 1 p Q q .

k 1

Степенной

ряд

Q x k xk 1

получается

почленным

k 1

дифференцированием из степенного ряда

P x xk

k 0

1 x

Следовательно, при всех

таких, что

1, имеем:

Q x

d 1 x 1

1 x 2

В итоге получаем

E p Q q p

;

1 q 2

Аналогично находим

D E 2 E 2 ,

E 2 k2qk 1p k2 k qk 1p kqk 1p

k 1

k 2

k 1

qp k 1 kqk 2 pQ q qpR q pQ q .

k 2

Очевидно, что R x k

1 kx

, следовательно,

1 x

k 2

E 2 qpR q pQ q qp

1 q

1 q 3

p p2

1 q

1 2

5). Пусть имеется случайная величина, равномерно распределенная на отрезке: U a,b . Тогда

						1		,		x a,b
p x																	.

			b a							x a,b
						0,
						0,
									b			x					1					x2				b
									b			x					1					x2				b
E xp x dx															dx
E xp x dx										b a					dx				b a			2				a
									a																	a
	1			b2 a2						a b					,
	b a														,
	b a					2				2
	b	x	2						1				x	3		b		1			b		3		a		3	a	2	ab b	2	,
	b		2											3		b							3				3		2		2
E 2					dx
E 2					dx													b a						3						3
	a	b a					b a 3									a		b a						3						3
D E			2			E			2		a2 ab b2									a b 2

																3								2
																3								2

a2 2ab b2 b a 2 .

12 12

6). Пусть дана нормально распределенная случайная величина N , 2 .

Тогда

										1		2	e	(x )2			dx
E xp x dx x										1		2	e	2 2			dx


										2
	1			xe	(x )2
	1			xe	2 2 d x .



			2
Сделаем замену						x			t. В этом случае
Сделаем замену									t. В этом случае

		1					t2								t2			1		t2
E			t e					dt					te			dt			e		dt.
							2								2					2

		2									2							2
		2									2							2

Используя то, что первый интеграл - от нечетной функции в симметричных пределах, а под знаком второго стоит плотность стандартного нормального закона, получаем, что E 0 1 .

Используя опять замену x t , находим

	1		x 2
E 2 x2		e	2 2	dx

	2

			1						2			2													2					t2
			1						2	t		2		2 t											2		e			2 dt

				2
						1							t2								2										t2						2			t2
	2								e						dt												te					dt						t2e				dt
													2																		2									2

							2																													2
							2															2														2
																		2							t2
					2															t2e							dt .
																									2


																2
Используя формулу интегрирования по частям, находим
		t	2													t	2																	t	2
		t														t																		t
	t2e 2 dt							t e 2 ( t)dt																					td e 2


											t2													t2														1			t2
											t2													t2																	t2
						te													e							dt 0													e			dt		.
																																	2										2
												2												2																	2
												2												2

																																						2
Тогда E 2 2																			2									2 2 .
																			2				2

																				2
																				2
	D E 2 E 2 2 2 2 2 .
Из примера 6 следует,																												что запись										N , 2 можно прочитать							как
«случайная							величина																							распределена												по нормальному знаку			с

математическим ожиданием (средним) и дисперсией 2 ».

7). Пусть Exp( ). Тогда, используя формулу интегрирования по частям, получаем


E xp (x)dx x e x dx											x( e x dx) xde x
				0						0												0
xe		x					x						e x										1	1	;
		x					x						e x										1	1
					e				dx 0										0 0
					e				dx 0										0 0
				0	0												0
										x2e x

E 2 x2 e x dx x2de x																				0		2xe x dx
0					0															0		0
				2								2		1				2			,
2 xe x dx				2	x e x dx							2		1				2
2 xe x dx					x e x dx													2
0					0
D E	2		E			2		2			1 2				1				.

									2							2

Теорема (неравенство Чебышева). Пусть дано вероятностное пространство ( ,A,P), - неотрицательная случайная величина.

Тогда для любого 0	верно неравенство P	E	.

Следствие к данной теореме докажите самостоятельно.

Следствие. Для любой случайной величины , заданной на произвольном вероятностном пространстве ( ,A,P) верны следующие неравенства

1. P E ,

2.P P 2 2 2 E 2 ,

3.(классическая форма неравенства Чебышева) Для любой случайной

величины, дисперсия которой определена, верно неравенство

PE D .

Ковариация и коэффициент корреляции двух случайных величин

Определение. Ковариацией двух случайных величин	и называется
величина
cov , E E E E E E .
Для любых случайных величин и верно равенство:
D D D 2cov , .

Если случайные величины 1 и 2 независимы, то cov( 1, 2) 0.

Определение. Коэффициентом корреляции двух случайных величин и

с конечной дисперсией называется величина

cov ,

E E

D D

Полезно знать, что операция вычитания математического ожидания из случайной величины называется её центрированием, а процесс деления на корень из дисперсии – нормированием. Это связано с тем, что после того как над любой случайной величиной проделать обе эти операции, то получим величину со средним 0 и дисперсией 1. Проверьте это самостоятельно.

Теорема (о свойствах коэффициента корреляции). Для произвольных случайных величин и с ненулевой дисперсией верно:

1.если и независимы, то , 0;

2.для любых вещественных a и b верно равенство

a, b , ;

3., 1.

Следствие. Модуль коэффициента корреляции двух случайных величин и равен 1 тогда и только тогда, когда существуют вещественные числа a 0 и c такие, что P a c 1.

При этом константа a и , имеют одинаковый знак, т.е. если a 0,

то , 1, а если a 0, то	, 1.
Определение. Если , 0, то случайные величины		и называются
некоррелированными.

Все независимые случайные величины согласно первому пункту предыдущей теоремы некоррелированы, но не все некоррелированные величины независимы. Это доказывает следующий пример.

Пример. Пусть дана следующая случайная величина.	1	0	1
Пример. Пусть дана следующая случайная величина.		1/ 3	1/3	.
	1/3	1/ 3	1/3

Очевидно, что E 0,

D 0 (покажите это самостоятельно).

Пусть 2 . Тогда

. Покажите,

что D 0.

1/ 3

2/ 3

Так как 3

то E 0, следовательно,

E E

D D

Мы

получили,

что

величины

некоррелированны. Легко

показать, что они не являются независимыми.

Двумерное нормальное распределение

Определение.

Случайный

вектор

1,..., n

имеет

n–мерное

нормальное распределение, если его плотность имеет вид

(x ,...,x )

x T 1 x ,

det

где x

- вектор-столбец,

- транспонированный вектор

, det -

...

cov i

, j

определитель

матрицы

n n

- ковариационная

матрица

вектора

1,..., n

составленная

из

попарных

ковариаций случайных

величин 1,..., n ,

E 1,...,E n

вектор

математических

ожиданий

случайных величин 1 , …,

n .

Для этого распределения используется обозначение

1,..., n

N , .

Матрицу еще обозначают как cov , .

Определение. Пусть Zm n ij m n - матрица размеров m n с элементами – случайными величинами ij с конечными математическими ожиданиями

E ij . Тогда по определению математическим ожиданием матрицы Zm n

называется матрица, составленная из математических ожиданий её элементов:

EZ E ij m n .

Легко показать, что


1). если			D A Z B C , где A, B, C –подходящие по размеру числовые
матрицы, то E D A EZ B C;
2). верно равенство
								E			E		T	.
cov( , ) E								E			E			.
Теперь			рассмотрим случай, когда												n 2,	т.е. рассмотрим двумерное
нормальное распределение.
Пусть		1, 2 ,						E		1, 2 , где					1 E 1,	2 E 2 .
Пусть		1, 2 ,						E		1, 2 , где					1 E 1,	2 E 2 .
Пусть		1	2 D			,	2	D		2	, тогда
		1		1			2			2
cov 1, 2 1, 2												1 2 1, 2 ,
cov 1, 2 1, 2									D 1 D 2			1 2 1, 2 ,
		2						где			1, 2 .
	1			1		2	,	где			1, 2 .
		2				2
	1	2			2

Легко вычислить, что

det 12 22 12 22 2 12 22 1 2 .

Следовательно, используя алгебраические методы, можно найти, что

1			1			22		1 2

			2 1 2		1 2			12
		12 2	2 1 2		1 2			12
				1

				2
		1		2	1
		1		1	1		2 .
	1 2				1

				1 2		2

Тогда

1				T		1			1		x1 1 2
		x					x					2
										2		2

2								2	1			1
	2		x1 1 x2 2					x2 2 2
	2								2	.
					1 2				2
					1 2				2

Следовательно, плотность двумерного нормального распределения имеет вид:

	x1,x2				1				exp		1		x1	1	2
p
											1	2		2
								2
			2 1		2 1			2		2
			2 1		2 1					2				1
		2		x1 1 x2					2		x2 2 2
		2											,
							1 2				2
							1 2				2
при 1 0,		2 0,				1.
при 1 0,		2 0,				1.
Если		1, то плотность не определена.

Для двумерного нормального распределения иногда используют следующее обозначение: 1, 2 N 1, 2, 12, 22,

Утверждение.

Если

даны

две

нормальные

случайные

величины

~ N( ,

2) и

~ N(

2), то они независимы тогда и только тогда, когда

их коэффициент корреляции равен нулю, т.е.

1, 2

N 1, 2, 12, 2

2, ,

Утверждение.

Если дан случайный вектор

, 2

то компоненты его нормальны: 1 ~ N 1, 12 , 2

~ N 2, 22 .

Определение.

7. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Говорят, что

последовательность

случайных величин

n ,n N

сходится по вероятности к случайной величине

при n ,

если для любого 0 верно, что

limP

Данное

соотношение

быть

заменено

на

эквивалентное

может

limP n 1.

Для этого вида сходимости применяют обозначение

n P .

Определение.				Говорят,	что последовательность случайных величин
n ,n N	сходится почти				наверное или с вероятностью 1 к случайной
величине			при	n ,	если вероятность события, включающего все
элементарные события такие, что lim n , равна 1:
P :					n
P :		n	1,
		n		n

или, что эквивалентно, вероятность события, включающего все

элементарные события такие, что lim n , равна 0.

Для этого вида сходимости применяют обозначение

п.н.

P 1 .

или

Определение.

Говорят,

что

последовательность

случайных

величин

n ,n N сходится в

среднем порядка r, где r 0, к случайной величине

при n , если limE

Для этого вида сходимости применяют обозначение

Говорят,

что

последовательность

случайных

величин

Определение.

n ,n N с функциями				распределения Fn x сходится по распределению к
случайной величине				с функцией распределения F x при	n , если для
всех точек непрерывности F x выполняется
limF x F x .
n			n
Для этого вида сходимости применяют обозначение
			D
	n	.
			n

D n С для

Теорема. Пусть дана последовательность случайных величин n ,n N и

случайная величина . Тогда

1.	если		п.н.		P
		n	, то	n	;
2.	если		n		n
			r		P
		n	, то	n	;
3.	если		n		n
			P		D
		n	, то	n	.
			n		n

Убедимся на конкретном примере, что в обратную сторону в общем случае утверждение будет неверным.

Пример. Пусть в качестве пространства элементарных событий выступает

полуинтервал

[0;1).

Рассмотрим вероятностное пространство в широком

смысле ,A,P , которое мы определили в теме 4.

Для любого n построим разбиение полуинтервала :

1 2

n 1

0;1 0;

;

...

;1 .

Для

всех

рассмотрим

случайные

величины

1,n

k 1

nk I

;

Рассмотрим

последовательность

случайных

величин

11, 21, 22, 31, 32, 33, 41,....

Данная

последовательность

по вероятности будет

сходиться к нулю, т.к.

limP

k 1 k

0 .

limP

;

lim

Итак,

Покажите

самостоятельно,

что,

кроме того,

но не

выполняется, что

п.н.

Закон больших чисел

Определение.

Говорят,

что последовательность

случайных

величин

n ,n N

подчиняется закону

больших чисел, если

последовательность

случайных величин вида

E k

сходится по вероятности к нулю:

n k 1

1 n

n k 1

или, если обозначить Sn

1 ... n , то

Sn ESn

n n

Сформулируем закон больших чисел в форме Чебышева.

Теорема (Чебышева). Пусть n ,n N - последовательность независимых случайных величин и существует C такая, что

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>