ТВиМС 2022

Добавил:

Julsft Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

5) Говорят, что имеет распределение Пуассона с параметром

если принимает значения 0,1,2,…,

e для всех

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2025

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

В верхней части таблицы перечислены возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания), а в нижней строке соответствующие вероятности этих значений.

Функция распределения случайной величины дискретного типа имеет вид, представленный на рисунке выше.

F x P x pk

		k:xk x
Примеры основных случайных величин дискретного типа:
1) Вырожденное распределение.
Пусть	всегда равно a : P a 1, тогда функция распределения этой
случайной величины равна
0,		x a	.
F x		x a
1,
2) Распределение Бернулли.
Пусть	принимает значение x1 с вероятностью p и x2 с вероятностью
1 p , тогда,	если x1 x2 , то
0,		x x1			.
F x p,x x x				2
		1
		x x2
1,
3) Биноминальное распределение.
Пусть	- число успехов в схеме Бернулли с вероятностью успеха p при

n испытаниях. Тогда случайная величина может принимать значения k из

множества 0,1,2,...n		, и P k Cnk pk 1 p n k .
	0,n
n, p -параметры биномиального распределения.
Если имеет биноминальное распределение с параметрами n			и p , то это
обозначается как i n, p или, реже, n, p .
4) Геометрическое распределение.
Пусть - число испытаний до первого успеха в схеме			Бернулли с
вероятностью успеха p .
P n qn 1p, n .

Обозначение: P0 - или .

В четвертом и пятом примерах случайная величина принимает счетное количество значений, а в первых трех – конечное.

Абсолютно непрерывные распределения

Определение. Функцию F x называют абсолютно непрерывной, а

соответствующую случайную величину называют случайной величиной абсолютно непрерывного типа, если существует неотрицательная функция p x такая, что

F x p z dz .

При этом функцию p x называют плотностью распределения случайной величины .

Утверждение (о свойствах плотности p x ). Для любой абсолютно непрерывной случайной величины верны свойства:

p x 0

для любого x ,

p x dx 1,

dF x

p x

, где х – точка непрерывности F x ,

а,b

P а,b P а,b P а,b .

Следствие.	Для любой абсолютно непрерывной случайной величины и
для любого a верно равенство
P a 0.
Примеры основных случайных величин абсолютно непрерывного типа.
1) Равномерное на отрезке а,b			распределение, где а b .
У данного распределения плотность имеет вид:
1	, x а,b
		,

p x b а	x а,b

0,

а функция распределения –

F x

	0,		х а
	х a
	х a
p z dz		,	а x b.
p z dz		,	а x b.
b а			х b
	1,		х b

а и b - параметры распределения. Обозначение: U a,b или, реже, R a,b .

2) Показательное (экспоненциальное) распределение с параметром 0.

	х			х 0 ,
p x e ,
	0,			х 0
	0,			х 0	.
F x		x	,	х 0
1 e

Обозначение: Exp( ).

3) Нормальное распределение с параметрами и 2 0.

p x 1

x 2

e 2 2 ,

2 2

F x 1

z 2

2 2

dz.

Обозначение: , 2 .

Если 0,

то

0,1 называется стандартным нормальным

распределением с плотностью

x p x

Соответствующая функция распределения обозначается как

x F x

dy .

В интегральной теореме Муавра-Лапласа:

					p		b	x dx b a .
lim					p	m		x dx b a .
n						m
	а	m	np	b			а
	а			b			а
			npq

Нормальное распределение еще известно как гауссовское. Вместе с портретом великого немецкого математика К.Ф. Гаусса (1777-1855) плотность этого распределения была изображена в конце XX века на 10 западногерманских марках.

4) Распределение Коши с параметром 0.

p x

x2 2

F x

z2 2

z 2

	z
d

x
	1		1		1	1		x	.
				dz			arctg
		z	2
			1	2

Если 1, то это стандартное распределение Коши с плотностью

p x x2 1 .

5) 2 (читается как хи-квадрат) распределение с n степенями свободы,

где n - параметр.

x 0

x x2

, x 0

где x zx 1e zdz.

Обозначение: 2n .

6) распределение Стьюдента с n степенями свободы, где n - параметр.

	n 1

			2
p x

		n

			2

1		1			;
				n 1
n		x	2
				2
	1
		2

Обозначение: stn .

Если n 1, то из распределения Стьюдента получится стандартное распределение Коши.

Случайные векторы и их распределения

Определение. Упорядоченный набор из n случайных величин 1... n , заданных на одном вероятностном пространстве ,A, , называют n –

мерным случайным вектором или n – мерной случайной величиной.

Обозначение: 1 2... n , : n .

Определение. Функцией распределения случайного вектора 1... n

называют функцию многих вещественных переменных F x : n такую,

что для любых х х1...хn n верно равенство

F x F x1...xn P 1 x1, 2 x2,..., n xn .

Эту функцию еще называют совместной функцией распределения

случайных величин 1... n .

Определение. Пусть дан случайный вектор

1... n ,

натуральное число

m ,

такое, что 1 m n, набор чисел

1 i1 i2

... im n.

Рассмотрим вектор

... im

. Функцию распределения F

xi1 ...xim

вектора

i1... im называют

частной

функцией распределения

подвектора

или частным

распределением случайных величин i1... im .

По частным распределениям, вообще говоря, нельзя восстановить совместное распределение, а наоборот – можно.

Теорема (о свойствах функции F x ). Для любого случайного вектора

1... n

и для любого k 1,n верно

lim

x1...xn 0,

x1...xn F ...

x1...xk 1xk ...xn ,

lim

F ...

...

k 1 k 1

lim F

x1...xn 1.

...

Пример.

Пусть дан случайный вектор

1 2 с совместной функцией

распределения

F x1x2

1 x1 x2

u2 v2

dudv.

Из второго пункта предыдущей теоремы следует, что функция распределения подвектора примет вид:

lim F

x x

1 2

х1 u2

e 2 du

e 2 du.

Получаем,

что

имеет

функцию распределения стандартного

нормального закона. Следовательно,

1 0,1 .

Аналогично показывается, что 2 0,1

Для случайных векторов вводятся понятия случайных векторов дискретного (если они принимает счетное или конечное число значений изn ) и абсолютно непрерывного типа.

Пример. Рассмотрим полиномиальную схему с k исходами при n испытаниях, в которой обозначим через pj вероятность появления исхода с

номером j при одном испытании, pj 1.

j 1

Пусть j - частота исхода с номером j при n испытаниях. Тогда вектор

1.. k имеет полиномиальное распределение, если


P 1 m1,..., k mk		n!	m	m
			p1 1	..pk k ,
	m !..m !
1		k

где mj 0, j 1,n , mj n .

j 1

Определение. Функция F x называется абсолютно непрерывной функцией распределения случайного вектора (который также называется

абсолютно

непрерывным),

если

существует

неотрицательная

функция

: n

, называемая плотностью, такая, что

z1...zn dz1..dzn .

x1...xn ...

Свойства плотности p

1). p

для всех

n ,

dx1..dxn

2). ...

Пример.

Двухмерным

нормальным

распределением

называют

распределение

абсолютно непрерывного

сучайного вектора

1, 2 с

плотностью:

x1x2

1 2

x 2

x x

exp

x2 2

где 1, 2

1 1,

1 0,

2 0 -

параметры.

Параметр

называют

коэффициентом корреляции.

Утверждение.

Пусть

случайный

вектор

имеет

плотность

распределения

x1..xn ,

тогда подвектор

1.. m

имеет

плотность

распределения

x1...xm ..

x1..xmxm 1..xn dxm 1..dxn

Операции над случайными величинами

Утверждение (без доказательства).

1.. n

случайный

Пусть n ,

вектор

плотностью

p x1..xn ,

дана

непрерывная

функция

x1..xn : n

. Тогда

1.. n будет случайной величиной и

P 1.. n x p x1..xn dx1..dxn ,

где Dx x1..xn n : x1..xn x

Аналогично, в дискретном случае:


P 1.. n y		P			x	.
		n:		y
	x	n:	x	y

Более подробно рассмотрим случай, когда n 1; т. е. рассмотрим случай преобразования одной случайной величины с функцией распределения F x и плотностью p x

Утверждение.

Пусть

;

где x

строго

возрастающая

непрерывная функция

: ,

- произвольная случайная величина с

функцией распределения F

x . Тогда F x F 1 x .

Утверждение.

Пусть

случайная величина,

плотность распределения

которой p x , : -

строго

возрастающая и непрерывная функция с

положительной производной

d x

0 для любого x . Тогда случайная

величина

также имеет плотность p x

и справедливо равенство

d 1 x

p x p 1 x

Пример. Линейное преобразование случайной величины.

Рассмотрим случайную

величину

a b,

где a и b - некоторые

вещественные константы, а

случайная

величина

с функцией

распределения F

x и плотностью

x .

F x P x P а b x P a x b .

Пусть a 0. Тогда

F	x P a x в P	x в	F	x в

		a			a

x в

х в

p x

x в

p y

x в

х в

Пусть a 0 . Тогда

x в

F x P a x в

1 P

x в

х в

1 P

х в

1 F

х в

dF x

1 P

p x

p y

х в

x в

Объединяя оба этих случая, получаем, что при а 0

х в

При

а 0 получаем,

что b.

В этом случае случайная величина не

имеет плотности распределения, а график её функции распределения имеет вид

0,	x b	.
F x	x b	.
1,	x b

Независимость случайных величин

Определение. Пусть даны случайные величины 1... n , заданные на одном вероятностном пространстве ,A,P . Они называются независимыми (в

совокупности), если для любых m 2,n и 1 i1 i2 ... im , для любых событий

j A , j 1,m , выполняется следующее свойство

P i1 1, i2 2,..., im m

P i1 1 P i2 2 ...P im m .

Так как 1... n заданы на одном вероятностном пространстве, то мы можем

рассмотреть их как случайный вектор 1... n с функцией распределения

F x1...xn .

Теорема (критерий независимости случайных величин). Случайные

величины

1... n ,

из

которых можно

составить

случайный

вектор

1... n : n ,

независимы тогда

только тогда, когда

для всех

x1...xn n выполняется равенство

x1...xn F1

x1 F2 x2 ...Fn xn .

Теорема. Пусть случайные величины j

имеют плотности распределения

p j x при всех j

1... n

имеет совместную

1,n

а случайный вектор

плотность

x1...xn . Тогда 1... n

- независимые случайные величины

тогда и только тогда, когда

x1...xn p 1 x1 ...p n

xn .

Последняя теорема – это критерий независимости для абсолютно непрерывных случайных величин.

Следствие (формулы свертки для независимых случайных величин).

Если 1, 2 - независимые абсолютно непрерывные случайные величины, то

p 1 2 y p 1 x1 p 2 y x1 dx1.

Если 1, 2 - независимые дискретные случайные величины, то

1 2 y 1 x1 2 y x1 .

Примеры. 1). Пусть независимые случайные величины 1 и 2 распределены по закону Пуассона с параметрами 1 и 2 соответственно. Найдем распределение их суммы:

1 2 k 1 i 2 k i .

i 0

Т.к. для любых i k верно, что 2 k i 0, то

1 2 k 1 i 2 k i

	(	)		1	k!	i	k i	1	2	k
e	1 2					1	2				e	1 2	.
e	1 2			k!	k! k i !	1	2		k!		e		.
			i 0	k!	k! k i !				k!

Это равенство верно для любых k 0 . Мы получили, что 1 2 1 2 .

2). Пусть 1, 2 - независимы, 1 Exp( 1), 2 Exp( 2). Это абсолютно непрерывные случайные величины. Найдем плотность распределения их суммы:

p 1 2

y p 1 x1 p 2 y x1 dx1.

p x1 0

y x1 0,

Т.к. для любых x1 0

и для любых x1 y

верно, что p

то

p 1 2

y 1 x1 2 y x1 dx1 1e 1x1 2e 2 y x1 dx1

1 2e 2 y ex1 2 1 dx1

Если 2

1 , то

e 2y

ey 2 1 1

e 1y e 2y

1 2

2 1

1 2

2 1

Если 2 1 , то

p 1 2 y 1 2e 2 y dy y 2e y .

Примеры показывают нам, что при свертке двух однотипных распределений можно получить как распределение того же типа (как в примере 1), так и распределение другого типа (как в примере 2).

6. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Определение.		Если - случайная величина дискретного типа с таблицей
распределения		x	i		, то	математическим ожиданием случайной
				,i
	P xi

величины называется число

E xi P xi xi P xi .

i 1 i 1

(т.е. сумма значений случайной величины, умноженных на их вероятности).

Здесь предполагается, что ряд абсолютно сходится, т.е. xi P xi .

i 1

Если - случайная величина абсолютно непрерывного типа, то её математическим ожиданием называется значение интеграла

E xp x dx ,

при условии, что он абсолютно сходится, т.е. сходится интеграл | x| p x dx.

Обычно используются два основных обозначения для математического ожидания: E и M .

Теорема (о свойствах математического ожидания с доказательством для дискретного пространства элементарных событий).

1.Если пространство элементарных событий Ω конечно, либо счетно, то E P , где P( - вероятность элементарного исхода .

Ω

2.(Свойство линейности). Для любых вещественных a и b , для любых случайных величин и , имеющих математические ожидания E и E соответственно, верно равенство E a b a E bE .

3.Если a b, то a E b.

4.Если - независимы и существуют E и Ey, то E y E Ey.

С помощью принципа математической индукции можно доказать, что свойства 2 и 4 верны для любого натурального количества случайных величин.

Следствие.

1.Если , то E .

2.Если , то E E .

3.|E | E| .

Утверждение (неравенство Коши – Буняковского). Для любых случайных величин и , для которых определены математические ожидания, верно неравенство

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>