образом, если в ЦФ требуется сохранить линейность ФЧХ, то необходимо использовать другие методы расчета.

4. В цифровой области сохраняются свойства оптимальности АЧХ аналогового прототипа вследствие однозначности отображения частотной оси в единичную окружность, что исключает эффект наложения АЧХ.

3.3. Частотные преобразования

При расчете цифровых ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ используются два подхода представленные на рис. 10.

Рис. 10. Частотные преобразования ФНЧ

Различие между ними заключается в следующем. В первом случае аналоговый фильтр-прототип нижних частот с частотой среза с, предварительно преобразуется в другой аналоговый фильтр (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ), из которого затем путем дискретизации, осуществляемой, например, с использованием билинейного z- преобразования, рассчитывается ЦФ с заданными характеристиками. Во втором случае аналоговый фильтр-прототип нижних частот с частотой среза с, дискретизируется сразу же, а затем путем преобразования его полосы формируется ЦФ (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ) с заданными характеристиками. Рассмотрим различные методы преобразования для аналоговых и цифровых фильтров.

20

3.3.1. Преобразование полосы частот для аналоговых фильтров

Наиболее простые преобразования аналогового фильтрапрототипа нижних частот с частотой среза с, в другой аналоговый фильтр (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ) имеют следующий вид:

1. Преобразование ФНЧ с частотой среза с в ФНЧ с частотой

среза c: p с p.

c

2. Преобразование ФНЧ с частотой среза с в ФВЧ с частотой

среза c: p с c . p

3. Преобразование ФНЧ с частотой среза с в ПФ с нижней сн

4. Преобразование ФНЧ с частотой среза с в РФ с нижней сн и

3.3.2. Преобразование полосы частот для цифровых фильтров

По аналогии с фильтрами непрерывного времени существует несколько простых, предложенных Константинидисом, преобразований цифрового ФНЧ с частотой среза с, в ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ. Приведем формулы для этих преобразований:

1. Преобразование ФНЧ с частотой среза с в ФНЧ с частотой

Tд – период дискретизации.

Замечание. В пакете Matlab 7.8 (R2009a), в качестве функций преобразования полосы частот, используются функции представленные в п. 3.3.1. Применительно к билинейному z- преобразованию результат, получаемый при синтезе цифрового фильтра с использованием частотных преобразований, изложенных в п. 3.3.1 или п. 3.3.2, является идентичным, при одинаково заданных требованиях на синтез фильтра. Однако последнее является, например, не справедливым для синтеза БИХ-фильтров с использованием метода инвариантного преобразования импульсной характеристики.

3.4. Методика синтеза цифровых фильтров на основе билинейного z-преобразования

С использованием основных положений сформулированных в п. 3.3 опишем два метода синтеза ЦФ на основе билинейного z- преобразования.

3.4.1. Методика синтеза ЦФ на основе билинейного z-преобразования с использованием трансформации полосы частот для аналоговых фильтров

1.Определить и деформировать граничные частоты (частоты среза) нужного фильтра с использованием выражения (13).

2.На основе спецификаций ЦФ и набора граничных частот полученных на шаге 1 определить подходящий аналоговый фильтр прототип нижних частот с передаточной функцией Hа(p).

22

3.С использованием подхода приведенного в п. 3.3.1 осуществить преобразование аналогового фильтра-прототипа нижних частот с частотой среза с, в другой аналоговый фильтр (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ).

4.Применить билинейное z-преобразование с использованием выражения (8) к передаточной функции аналогового фильтра, полученной на шаге 3, и получить передаточную функцию H(z)

требуемого ЦФ.

5.Проверить выполнение заданных требований.

3.4.2.Методика синтеза ЦФ на основе билинейного z-преобразования с использованием трансформации полосы частот для цифровых

фильтров

1.Определить и деформировать граничные частоты (частоты среза) нужного фильтра с использованием выражения (13).

2.На основе спецификаций ЦФ и набора граничных частот полученных на шаге 1 определить подходящий аналоговый фильтр прототип нижних частот с передаточной функцией Hа(p).

3.Применить билинейное z-преобразование к функции Hа(p) с

использованием выражения (8) и получить передаточную функцию ЦФ. 4. С использованием подхода приведенного в п. 3.3.2 осуществить преобразование цифрового ФНЧ с частотой среза с, полученного на

шаге 3, в требуемый цифровой фильтр (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ). 5. Проверить выполнение заданных требований.

3.5. Особенности использования метода билинейного z-преобразования

Основным фактором, создающим ограничение на использование билинейного z-преобразования, является деформация шкалы частот. Последнее означает, что:

1.Билинейное z-преобразование пригодно лишь в тех случаях, когда требования к АЧХ фильтра-прототипа задаются ступенчатой функцией частоты, что свойственно частотно-избирательным фильтрам (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ).

2.Билинейное z-преобразование не пригодно для синтеза корректирующих фильтров (фильтров с произвольными АЧХ), фильтров с линейной ФЧХ, а так же для сохранения импульсной характеристики фильтра-прототипа. Иначе говоря, ни фазочастотная, ни импульсная характеристики аналогового прототипа не сохраняются.

23