Замечание. Фильтры Чебышёва типа II применяются значительно реже, чем фильтры Чебышёва типа I, поскольку они требуют реализации нулей. Это не только усложняет программную и аппаратную реализацию, но и увеличивает собственный шум фильтра за счет введения умножений в числителе передаточной функции.

2.3. Фильтры Золотарева-Кауэра

Фильтры Золотарева-Кауэра (эллиптические фильтры) характеризуются равноволновой АЧХ как в ПП, так и в ПЗ. Они являются оптимальными в том смысле, что среди всех других фильтров имеют наименьшую ширину переходной полосы для заданного порядка N , п с и пульсаций п, з ( , A) в ПП и ПЗ, соответственно.

Функция квадрата АЧХ N -го порядка ФНЧ Золотарева-Кауэра имеет вид:

где – параметр, управляющий величиной пульсаций в ПП, UN (x) – эллиптическая функция Якоби N -го порядка.

Примеры квадратов АЧХ эллиптических фильтров приведены на рис. 6.

а) нечетный порядок N фильтра; б) четный порядок N фильтра

Теория эллиптических функций очень сложна и здесь не рассматривается. Заметим только, что при вычислении полюсов

12

где Tд – период дискретизации. Формально с использованием выражения (5), которое получается из прямой взаимосвязи между преобразованием Лапласа и z-преобразованием, можно осуществить отображение передаточной функции Hа(p) аналогового фильтрапрототипа в передаточную функцию H(z) цифрового фильтра. Однако

подстановка выражения p 1 ln(z) в рациональную функцию Hа(p)

Tд

приводит к получению физически нереализуемой системной функции, так как последняя не представляет отношение двух полиномов от z.

В связи с этим необходимо вводить в рассмотрение другие отображения p-области в z-область, которые должны удовлетворять трем основным свойствам, перечисленным в п. 1.

Одно из таких отображений может быть получено, если выражение (5) представить в следующем виде:

Из выражения (6) можно получить следующую взаимосвязь между комплексными переменными p и z:

Преобразование (7), представляющее собой конформное отображение p-области в z-область и являющееся рациональной

функцией первого порядка от z 1, называется билинейным z-

преобразованием. Этот тип преобразования обеспечивает однозначное отображение p-плоскости на z-плоскость и позволяет реализовать

14

Таблица 1

Отображение оси j на z-плоскость

j 2

Tд

j

j

Рис. 7. Отображение p-плоскости на z-плоскость при билинейном z-преобразовании

Левая p-полуплоскость однозначно отображается внутрь единичного круга, а правая p-полуплоскость – вне его.

Для доказательства этого утверждения достаточно знать, в каких пределах лежат значения радиуса r. Воспользуемся выражением (7), в которое подставим оператор p j , и исследуем r z при положительных и отрицательных значениях :

Числитель подкоренного выражения при 0, что соответствует левой p-полуплоскости, оказывается меньше знаменателя, поэтому r 1 и левая p-полуплоскость отображается внутрь единичного круга z- плоскости. При 0, что соответствует правой p-полуплоскости, числитель оказывается больше знаменателя, поэтому r 1 и правая p- полуплоскость отображается на всю z-плоскость вне единичного круга.

16

2.ЦФ устойчив, если устойчив его аналоговый фильтр-прототип, поскольку полюсы последнего лежат в левой p-полуплоскости, отображаемой внутрь единичного круга z-плоскости.

3.Соотношение между аналоговыми и цифровыми частотами принципиально нелинейно, то есть шкала частот деформируется.

Найдем это соотношение из (7) при p j и z e j Tд , поскольку рассматриваются только частотная ось и единичная окружность:

При 0.3Tд получается . Следовательно,

приблизительно для одних и тех же частот цифровой и аналоговый фильтры имеют одинаковые АЧХ. Однако для более высоких частот соотношения между и становится нелинейным и, как показано на рис. 8, в шкалу частот цифрового фильтра вводятся искажения по отношению к частотной шкале аналогового фильтра. Этот эффект известен как деформация шкалы частот.

Влияние деформации шкалы частот можно продемонстрировать при рассмотрении аналогового фильтра, имеющего несколько полос пропускания, равномерно распределенных на частотной шкале (см. рис. 8). Получаемый цифровой фильтр будет иметь такое же число полос пропускания, однако в высокочастотной части шкалы полосы пропускания будут иметь тенденцию к непропорциональному уменьшению, как показано на рис. 8.

Если интересоваться только АЧХ, то деформация шкалы частот может быть скомпенсирована во всех практически важных случаях с помощью введения предыскажений в аналоговый фильтр. Пусть1, 2, , n – граничные частоты (частоты среза) полос пропускания

17

и задерживания аналогового фильтра. Значения граничных частот соответствующих полос ЦФ определяются выражением:

Hа( j )

H(ej Tд )

Рис. 8. Влияние деформации шкалы частот на АЧХ ЦФ

задерживания, то до применения билинейного z-преобразования в шкалу частот исходного аналогового фильтра должны быть введены предыскажения, обеспечивающие выполнение условий:

18

arg(Hа( j ))

arg(H(ej Tд ))

Рис. 9. Влияние деформации шкалы частот на ФЧХ ЦФ

Влияние деформации шкалы частот на ФЧХ можно продемонстрировать на примере анализа аналогового фильтра с линейной ФЧХ arg(Hа( j )). Как показано на рис. 9, ФЧХ

arg(H(e j Tд )) рассчитываемого цифрового фильтра нелинейна. Таким

19