дзерж Теория графов методичка

Рисунок 28

32

Матричная теорема о деревьях (теорема Кирхгофа):

Пусть – связный граф с матрицей Кирхгофа . Все алгебраические дополнения матрицы Кирхгофа равны между собой и их общее значение определяет количество остовных деревьев графа.

Для матрицы из примера алгебраическое дополнение элемента (1,1) можно расcчитать:

=3(27 − 1 − 1 − (3 + 3 + 3)) + (−9 − 1 − (3 − 1)) + (−1 − 9 − (−1 + 3))

=3 16 − 12 − 12 = 24.

Таким образом, число остовов графа составляет 24. Матрица Лапласа

Существует оператор, называемый лапласиан (оператор Лапласа). Он представляет собой сумму частных производных второго порядка определенного вида. В свою очередь матрица Лапласа имеет следующий вид:

где – матрица Лапласа, – матрица степеней, – матрица смежности. На примере:

33

6

5

4

1

Говорят, что матрица Кирхгофа представляет собой дискретный оператор Лапласа для графа G = V, E .

34

§8. ОПЕРАЦИИ НАД ГРАФАМИ

Удаление ребра Есть граф = ; и ребро графа . Результатом операции удаления

ребра является новый граф: ̅= ; { }.

Теорема:

Проиллюстрируем теорему:

Рисунок 30

Удаление вершины Есть граф = ; и вершина графа . Результатом операции удале-

ния вершины является новый граф: ̅= { }; ̅ , где ̅ – множество дуг, за исключением инцидентных удаленной вершине.

Теорема:

Проиллюстрируем операцию:

35

Введение вершины в ребро Есть ( , ) ребро. Добавим на него вершину . Получим 2 ребра:

( , ), ( , ). Непосредственно ребро ( , ) из конечного графа удаляется. Пересечение графов Имеем 2 графа 1 = 1; 1 и 2 = 2; 2 . Граф, образованный пересече-

нием множеств вершин и ребер будет результатом операции:

и вершин. Граф = , полученный добавлением вершины и мно-

Рисунок 32

36

Граф получен из графа путем слияния вершин 5 и 3. Множества

(5) = {1,3,4}, (3) = {2,5,4}.

Расщепление вершин Возьмем некоторую вершину графа . Множество смежных ей вершин

( ) произвольным образом разобьём на 2 класса , . Удалим вершину с ин-

37

§9. МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГРАФА, СВЯЗНОСТЬ ГРАФА

Определения:

Цепью в неориентированном графе = , называется такая последо-

вательность его рёбер (1, 2, . . . , ), где = ( ; +1), в которой каждая пара соседних элементов имеет общую вершину. В цепи существует вершина, назы-

ваемая концевой, для неё выполняется deg = 1. Число ребер цепи, соединяющих вершины и называется длиной цепи и обозначается ( , ).

Циклом называется цепь, концевые вершины которой совпадают. Любая вершина цикла имеет степень deg( ) ≤ 2.

Цепь называется составной цепью, если в ней повторяется хотя бы одно ребро; сложной цепью, если в ней повторяется хотя бы одна вершина, и простой цепью – в противном случае.

Неориентированный граф называется связным графом, если любая пара его вершин соединена цепью.

Максимальный по включению вершин связный подграф графа = , называется его компонентой связности. Граф называется несвязным графом, если он имеет более одной компоненты связности. Ясно, что граф, состоящий из двух несмежных вершин, имеет две компоненты связности и является несвязным графом.

Обговорим задачу определения числа компонент связности графа. Для этого начнем с теоремы.

Элемент матрицы ( ) = [ ] будет представлять собой множество цепей длиной , соединяющих вершины и .

Теорема:

При возведении матрицы ( ) в степень умножение будем понимать, как конкатенацию (слипание) двух строк символов – присоединение второй строки символов к первой. Давайте проиллюстрируем полученное изыскание. Для этого воспользуемся графом Петерсена:

38

2

Рисунок 35

Соответствующая ему матрица смежности будет иметь следующий вид:

Представленная матрица фактически определяет распределение ребер единичной длины. Если будем рассматривать матрицу цепей длины 2, нам нужно возвести её в квадрат.

Если просуммировать матрицы и 2, то получится матрица, в которой отсутствуют нулевые элементы, что будет означать существование цепи длины 1 или 2 между любой парой вершин данного графа. Отсюда следует связанность графа Петерсена.

40