дзерж Теория графов методичка

отношение. Однозначно задать s-отношение с помощью графа можно если в качестве носителя графа взять не только множество букв, но и множество идентификаторов слов. Такое задание s-отношения осуществляется посредством двухдольного графа.

Граф = , называется двудольным графом или графом Кёнига, если его носитель разбит на 2 подмножества + и −, таких что: + ∩ − = { } – то есть не имеющих общих вершин. Начало каждой дуги принадлежит + и только ему, а конец - − и только ему. При заданном s-отношении элементам+ в графе Кёнига взаимно-однозначно сопоставляются буквы, а элементам − - идентификаторы слов.

Двудольный граф, заданный трёхместным соотношением 2

и идентификаторы ̅̅̅̅ изображен на рисунке.

2 (1,4)

11

и о р с ы а

Рисунок 6

Неплохо отметить для задания s-отношений применяется объект, прозванный в западной литературе «гиперграф». При геометрической интерпретации графа его буквы соответствуют вершинам, а слова – кругам Эйлера, которые охватывают буквы, входящие в состав слов

Рисунок 7

Одним из основных понятий в теории графов является понятие модели. Моделью Ψ называется совокупность множества с заданным на соотноше-

нии набором сечений: = { 11, 12, … , 1 , 21, 22, … 2 , 1, 2, … , },

где соответственно:-носитель модели,

соотношения ′ образуют сигнатуру модели.

§3. СВОЙСТВА БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ

Рассмотрим, какими вообще бывают бинарные (n=2) отношения:

1.Если: ( ) (( ; ) 2) , то 2 называется рефлексивным. Рассматривая граф такого отношения можно сказать, что у каждой вершины такого графа есть петля. Матрица смежности – единичная.

2.Если: ( ; ( ≠ ) ) (( ; ) 2 ( ; ) 2), то 2

называется симметричным. Матрица смежности такого отношения будет симметрична относительно главной диагонали. При задании графом для каждых двух вершин есть две дуги, инцидентных и коинцидентных между собой.

3.Если: ( ; ; , ( ; ; )) (( ; ) 2&( ; )

2 ( ; ) 2), то 2 называется транзитивным. (здесь

( ; ; ) означает «попарно различны»). Для транзитивных отношений графы будут иметь такие характерные дуги:

Рисунок 8

Любой паре дуг, где конец одной совпадает с началом другой, соответствует третья дуга, транзитивно замыкающая этот порядок.

Таким образом, мы подходим к метрическим пространствам. Введём: Δ(2; ) – параметр близости бинарного отношения 2 к свойству – будет он оцениваться минимальным числом дуг, которые надо удалить или добавить

графу, задающему это отношение, чтобы полученный граф с отношением ̃

2

имел все 3 вышеприведенных свойства: = & &. (рефлексивность, симметричность, транзитивность).

13

Определим близость для информационного графа машины Фон-Неймана, рассматриваемого ранее:

( 2, ) = 5 – рефлексивность ( ), ( 2, ) = 4 – симметричность ( ), ( 2, ) = 6 – транзитивность ( ).

Перечислим дуги, транзитивно ( ) замыкающие граф Фон-Неймана:

( , ) &( , ) , но ( , ) ( , ) &( , ) , но ( , ) ( , ) &( , ) , но ( , ) ( , ) &( , ) , но ( , ) ( , ) &( , ) , но ( , ) ( , ) &( , ) , но ( , )

Рефлективность ( ) для данного графа добавляется соответсвенно:

a

b c d

e

Рисунок 9

И, наконец, симметричность ( ) – дополняется следующим образом:

14

a b c d e

Рисунок 10

Продолжим список отношений:

4. Отношение 2, обладающее свойствами рефлексивности и антисиммет-

ричности и транзитивности: ( , )(( , ) 2&( , ) 2)

≡ называется отношением упорядоченности. Обозначается « ».

5.Отношение 2, обладающее свойствами антирефлексивности, антисимметричности и транзитивности называется отношением строгой упорядоченности. Записывается условие так: ( )(( , ) 2), ( , )(( , ) 2&( , ) 2) ≡ . Обозначается такое отношение

« ».

6.Отношение 2, обладающее свойствами рефлексивности и транзитивности называется отношением предпорядка.

7.Если отношение 2 рефлексивно и симметрично, то оно называется отношением толерантности.

Рассмотрим операцию включения: . Она рефлексивна – так как множество включает само себя. Она антисимметрична - & ≡. Значит, отношение включения является отношением упорядоченности.

Примером отношения строгой упорядоченности является отношение «<» на множестве рациональных чисел, а отношения предпорядка – отношение «Является делителем» для множества натуральных чисел.

15

§4. ГРАФ ХАССЕ

Частично упорядоченные множества, обладающие графом = ; образуются из первоначального графа удалением всех петель и транзитивно замыкающих дуг. Такого вида граф называется графом Хассе (Hase). Граф Хассе (диаграмма Хассе) определяет базовое задание отношений упорядоченности на множестве.

Рассмотрим пример. Задан граф следующего вида:

{ , , }

{ , }

{ , }

{ }

{ , }

{ }

{ }

Рисунок 11

Граф Хассе для данного графа выглядит следующим образом:

16

{ , , }

{ , }

{ , }

{ }

{ , }

{ }

{ }

Рисунок 12

Внимательный человек без труда здесь заметит булеан третьей степени. В свою очередь булеан четвертой степени можно представить в виде декартова произведения булеана третьей степени на булеан первой:

111

111

110

110

101

Либо в виде иерархичной структуры:

1111

0000

Рисунок 14

Есть ещё вариант представления булеана, в котором можно наблюдать возможность построения в формате, в котором длины рёбер булеана равны.

0000

1111

Рисунок 15

18

Пусть ( , ) и ′ , ′| ′: > , тогда называет-

ся мажорантой ′. Так же можно определить и миноранту.

Рассмотрим ′ = {( , ); ( , ); ( , , )}. Можно сказать, что

{ , } { } { } { } ( – является мажорантой).

Двойственным частному упорядоченному множеству называется частично упорядоченное множество ̃, определённое на том же носителе с помощью обратного отношения. Обратным для графа Хассе будет отображение следующего вида:

{ , , }

{ , }

{ , }

{ }

{ , }

{ }

{ }

Рисунок 16

Принцип двойственности: Если теорема справедлива для частично упорядоченного множества с заданным отношением, она справедлива и для двойственного отношения к данному множеству.

19